Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình hoặc phương trình.

Sau chiến thắng\(5 - 0\)trước Werder Bremen vào ngày\(14\)tháng \(4\) năm\(2024\), Bayer Leverkusen đã giành chức vô địch Quốc gia Đức (Bundesliga) lần đầu tiên trong lịch sử câu lạc bộ.

Trong mùa giải \(2023 - 2024\)đó, Bayer Leverkuse đã thi đấu \(34\) trận mà không chịu thua trận nào và giành được chức vô địch với \(90\) điểm. Biết rằng, với mỗi trận đấu, đội thắng được\(3\) điểm, đội thua không có điểm và nếu hai đội hòa nhau thì mỗi đội được \(1\) điểm. Hỏi  Bayer Leverkuse đã giành được bao nhiêu trận thắng, bao nhiêu trận hòa?

a. Ta có \(\Delta ADB\) vuông tại \(D\) (do \(AD\) là đường cao).

    Do đó \(A,D,B\) nằm trên đường tròn đường kính \(AB\).

   \(\Delta AEB\) vuông tại \(E\) (do \(BE\) là đường cao). Do đó \(A,E,B\) nằm trên đường tròn đường kính \(AB\).

Từ đó ta có bốn điểm \(A,B,D,E\)cùng nằm trên một đường tròn đường kính \(AB\)

b. Vì \(AK\)là đường kính của \((O)\) nên \(\widehat {ACK} = 90^\circ \)( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét \(\Delta ABD\) và\(\Delta AKC\) có

\(\widehat {ABD} = \widehat {AKC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung\(AC\) )

   \(\widehat {ADB} = \widehat {ACK} = 90^\circ \)

Do đó (g-g).

c. Ta có \(\Delta BEC\) vuông tại \(E\) (do \(BE\) là đường cao)

Do đó \(B,E,C\) nằm trên đường tròn đường kính \(BC\).

Mà \(I\)là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BEC\) nên \(I\)là trung điểm của \(BC\).

Do đó \(IE = IB = IC\) suy ra \(\Delta BIE\) cân tại \(I\). Khi đó \(\widehat {IBE} = \widehat {IEB}\).         \((1)\)

Ta cũng có \(\Delta AEH\) vuông tại \(E\) (do \(BE\) là đường cao)

Do đó \(A,E,H\) nằm trên đường tròn đường kính \(AH\).

Mà \(F\)là trung điểm\(AH\)nên \(F\)là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AEH\)

Do đó \(FE = FH\) suy ra \(\Delta FEH\)cân tại \(F\). Khi đó \(\widehat {FEH} = \widehat {FHE}\)             \((2)\)

Mặt khác\(\Delta BHD\) vuông tại \(D\) nên \(\widehat {DBH} + \widehat {BHD} = 90^\circ \) hay \[\widehat {IBE} + \widehat {BHD} = 90^\circ \]  \((3)\)

Mà \(\widehat {FHE} = \widehat {BHD}\) (đối đỉnh)   \((4)\)

Từ \((1)\), \((2)\), \((3)\) và \((4)\) suy ra \(\widehat {FEH} + \widehat {IEB} = 90^\circ \) hay \[\widehat {IEF} = 90^\circ \]

Vậy \(EF\) là tiếp tuyến của \((I)\)

a. Ta có các hệ số \(a = 2;b = 4;c =  - 1\).

Biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac = {4^2} - 4.2.( - 1) = 16 + 8 = 24 > 0\).

Vì \(\Delta  > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b. Theo định lý Viète, ta có \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - 4}}{2} =  - 2;\,\,\,{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{2}\).

Ta có \(P = \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} - \frac{2}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2}^2 - 2{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}\)

Vì \({x_2}\)là nghiệm của phương trình nên ta có \(2{x_2}^2 + 4{x_2} - 1 = 0\)

Suy ra \(2{x_2}^2 = 1 - 4{x_2}\)

Hay \({x_2}^2 = \frac{{1 - 4{x_2}}}{2} = \frac{1}{2} - 2{x_2}\)

Thay vào biểu thức ta có \(P = \frac{{{x_2}^2 - 2{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{\frac{1}{2} - 2{x_2} - 2{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{\frac{1}{2} - 2({x_1} + {x_2})}}{{{x_1}{x_2}}}\)

Thay \({x_1} + {x_2} =  - 2\) và  \({x_1}.{x_2} = \frac{{ - 1}}{2}\)ta có \(P = \frac{{\frac{1}{2} - 2({x_1} + {x_2})}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{\frac{1}{2} - 2.( - 2)}}{{\frac{{ - 1}}{2}}} = \frac{{\frac{9}{2}}}{{\frac{{ - 1}}{2}}} =  - 9\)

Vậy giá trị của biểu thức là \( - 9\).