Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình hoặc phương trình.

Sau chiến thắng\(5 - 0\)trước Werder Bremen vào ngày\(14\)tháng \(4\) năm\(2024\), Bayer Leverkusen đã giành chức vô địch Quốc gia Đức (Bundesliga) lần đầu tiên trong lịch sử câu lạc bộ.

Trong mùa giải \(2023 - 2024\)đó, Bayer Leverkuse đã thi đấu \(34\) trận mà không chịu thua trận nào và giành được chức vô địch với \(90\) điểm. Biết rằng, với mỗi trận đấu, đội thắng được\(3\) điểm, đội thua không có điểm và nếu hai đội hòa nhau thì mỗi đội được \(1\) điểm. Hỏi  Bayer Leverkuse đã giành được bao nhiêu trận thắng, bao nhiêu trận hòa?

a. Ta có các hệ số \(a = 2;b = 4;c =  - 1\).

Biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac = {4^2} - 4.2.( - 1) = 16 + 8 = 24 > 0\).

Vì \(\Delta  > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b. Theo định lý Viète, ta có \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - 4}}{2} =  - 2;\,\,\,{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{2}\).

Ta có \(P = \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} - \frac{2}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2}^2 - 2{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}\)

Vì \({x_2}\)là nghiệm của phương trình nên ta có \(2{x_2}^2 + 4{x_2} - 1 = 0\)

Suy ra \(2{x_2}^2 = 1 - 4{x_2}\)

Hay \({x_2}^2 = \frac{{1 - 4{x_2}}}{2} = \frac{1}{2} - 2{x_2}\)

Thay vào biểu thức ta có \(P = \frac{{{x_2}^2 - 2{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{\frac{1}{2} - 2{x_2} - 2{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{\frac{1}{2} - 2({x_1} + {x_2})}}{{{x_1}{x_2}}}\)

Thay \({x_1} + {x_2} =  - 2\) và  \({x_1}.{x_2} = \frac{{ - 1}}{2}\)ta có \(P = \frac{{\frac{1}{2} - 2({x_1} + {x_2})}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{\frac{1}{2} - 2.( - 2)}}{{\frac{{ - 1}}{2}}} = \frac{{\frac{9}{2}}}{{\frac{{ - 1}}{2}}} =  - 9\)

Vậy giá trị của biểu thức là \( - 9\).

   \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 11\\x - 2y = 1\end{array} \right.\)

                  \(\left\{ \begin{array}{l}4x = 12\\x - 2y = 1\end{array} \right.\)

                   \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\x - 2y = 1\end{array} \right.\)

                  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\3 - 2y = 1\end{array} \right.\)

                  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\2y = 2\end{array} \right.\)

              \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\) .

   Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm \(\left( {x\,;y} \right)\)là \(\left( {3\,\,;\,\,1} \right)\)