Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn (\(AB < AC\)) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Các đường cao \(AD\)và \(BE\)cắt nhau tại \(H\).

a. Chứng minh bốn điểm \(A,B,D,E\)cùng nằm trên một đường tròn.

b. Kẻ đường kính \(AK\) của đường tròn \((O)\). Chứng minh tam giác \(ABD\) và tam giác \(AKC\) đồng dạng.

c. Gọi \(F\) là trung điểm\(AH\), \(I\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BEC\). Chứng minh \(EF\)là tiếp tuyến của \((I)\).

a. Ta có các hệ số \(a = 2;b = 4;c =  - 1\).

Biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac = {4^2} - 4.2.( - 1) = 16 + 8 = 24 > 0\).

Vì \(\Delta  > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b. Theo định lý Viète, ta có \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - 4}}{2} =  - 2;\,\,\,{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{2}\).

Ta có \(P = \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} - \frac{2}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2}^2 - 2{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}\)

Vì \({x_2}\)là nghiệm của phương trình nên ta có \(2{x_2}^2 + 4{x_2} - 1 = 0\)

Suy ra \(2{x_2}^2 = 1 - 4{x_2}\)

Hay \({x_2}^2 = \frac{{1 - 4{x_2}}}{2} = \frac{1}{2} - 2{x_2}\)

Thay vào biểu thức ta có \(P = \frac{{{x_2}^2 - 2{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{\frac{1}{2} - 2{x_2} - 2{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{\frac{1}{2} - 2({x_1} + {x_2})}}{{{x_1}{x_2}}}\)

Thay \({x_1} + {x_2} =  - 2\) và  \({x_1}.{x_2} = \frac{{ - 1}}{2}\)ta có \(P = \frac{{\frac{1}{2} - 2({x_1} + {x_2})}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{\frac{1}{2} - 2.( - 2)}}{{\frac{{ - 1}}{2}}} = \frac{{\frac{9}{2}}}{{\frac{{ - 1}}{2}}} =  - 9\)

Vậy giá trị của biểu thức là \( - 9\).

   \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 11\\x - 2y = 1\end{array} \right.\)

                  \(\left\{ \begin{array}{l}4x = 12\\x - 2y = 1\end{array} \right.\)

                   \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\x - 2y = 1\end{array} \right.\)

                  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\3 - 2y = 1\end{array} \right.\)

                  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\2y = 2\end{array} \right.\)

              \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\) .

   Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm \(\left( {x\,;y} \right)\)là \(\left( {3\,\,;\,\,1} \right)\)