Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 5x + 6 = 0\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức sau: \(A = 3x_1^2{x_2} + 3{x_1}x_2^2.\)

Xét phép thử "Lấy ra ngẫu nhiên cùng một lúc 2 quả bóng từ trong hộp".

Nhận thấy tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử là đồng khả năng.
Gọi \(\left( {x;y} \right)\) là một kết quả của phép thử khi lấy được 2 quả bóng có đánh số là \(x\) và \(y\).
Không gian mẫu của phép thử

               \({\rm{\Omega }} = \left\{ {\left( {1;2} \right);\left( {1;3} \right);\left( {1;4} \right);\left( {1;5} \right);\left( {2;3} \right);\left( {2;4} \right);\left( {2;5} \right);\left( {3;4} \right);\left( {3;5} \right);\left( {4;5} \right)} \right\}.\)

Số phần tử của không gian mẫu là 10 phần tử. Xét biến cố \(A\) :"Trong 2 quả bóng lấy ra có ít nhất 1 quả bóng ghi số chẵn".
Ta có \(A = \left\{ {\left( {1;2} \right);\left( {1;4} \right);\left( {2;3} \right);\left( {2;4} \right);\left( {2;5} \right);\left( {3;4} \right);\left( {4;5} \right)} \right\}\).
Có 7 kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\).
Xác suát của biến có \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{7}{{10}} = \frac{1}{2}\).

Với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\), ta có

\(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)\)

\[\; = \frac{{\sqrt x + 1 + \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} \cdot \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{1} = 2\sqrt x .\]        

Vậy với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\) thì \(A = 2\sqrt x \).