Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y = 6\\3x - 4y = 2\end{array} \right.\)

a) Do MA, MB là tiếp tuyến của (O) nên MA \( \bot \) OA, MB \( \bot \) OB

Khi đó \(\Delta \)MAO vuông tại A nên M, A, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM

\(\Delta \)MBO vuông tại B nên M, B, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM

Vậy M, O, A, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM hay tứ giác OAMB nội tiếp.

b) Ta có \(\widehat {ABC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(\Delta \)ABC vuông tại B

Khi đó \(\cos \widehat {OCB} = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{4}{{2.3}} = \frac{2}{3}\) suy ra \(\widehat {OCB} \approx 48,2^\circ .\)

c) Gọi H là giao điểm của OM và AB.

Ta có MA = MB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OB (cùng là bán kính)

Nên OM là trung trực của AB. Khi đó OM \( \bot \) AB tại trung điểm H của AB

Khi đó  (g.g) suy ra \(O{A^2} = OH.OM\)

Mà OA = OC nên \(O{C^2} = OH.OM\) suy ra \(\frac{{OH}}{{OC}} = \frac{{OC}}{{OM}}\)

Kết hợp \(\widehat {COM}\) chung nên  (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {OHC} = \widehat {OCM}\) (hai góc tương ứng).

Do \(\Delta \)OHD vuông tại H và \(\Delta \)OCD vuông tại C nên O, H, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính OD

Suy ra \(\widehat {OHC} = \widehat {ODC}\). Suy ra \(\widehat {OCM} = \widehat {ODC}\)

Mà \(\widehat {OCM} + \widehat {MCD} = 90^\circ \) nên \(\widehat {ODC} + \widehat {MCD} = {90^ \circ }\) hay \(\Delta \)CDN vuông tại N

Xét \(\Delta \)CDN và \(\Delta \)MCA có \(\widehat {DNC} = \widehat {MAC} = 90^\circ ,\,\,\widehat {ODC} = \widehat {OCM}.\)

Suy ra  (g.g) (đpcm).

Ta có hình nón lớn là cả ly có: chiều cao h = 18 cm và bán kính đáy R = 3 cm.

Hình nón nhỏ bên trong là phần nước có: chiều cao h = 12 cm và bán kính đáy r.

Vì nước chiếm phần dưới của hình nón lớn, cùng hình dạng nên hai hình nón đồng dạng.

Suy ra tỷ lệ các kích thước tương ứng bằng nhau nên \(\frac{r}{R} = \frac{h}{H} = \frac{{12}}{{18}} = \frac{2}{3}\) hay \(r = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2\,({\rm{cm}})\).

Thể tích hình nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\)

Áp dụng tính thể tích phần nước: \(V = \frac{1}{3}\pi {.2^2}.12 = \frac{1}{3}\pi .4.12 = 16\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).\)