Thống kê điểm kiểm tra môn Toán cuối học kỳ II của 30 học sinh lớp 9A ở một trường THCS cho kết quả như sau:

7	8	10	3	8	6	5	5	3	8	4	5	2	9	9
5	6	7	8	6	7	9	8	9	10	8	7	7	4	3

a) Lập bảng tần số cho mẫu số liệu trên.

b) Tính xác suất của biến cố A “Học sinh đạt điểm lớn hơn 7”.

a) Do MA, MB là tiếp tuyến của (O) nên MA \( \bot \) OA, MB \( \bot \) OB

Khi đó \(\Delta \)MAO vuông tại A nên M, A, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM

\(\Delta \)MBO vuông tại B nên M, B, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM

Vậy M, O, A, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM hay tứ giác OAMB nội tiếp.

b) Ta có \(\widehat {ABC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(\Delta \)ABC vuông tại B

Khi đó \(\cos \widehat {OCB} = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{4}{{2.3}} = \frac{2}{3}\) suy ra \(\widehat {OCB} \approx 48,2^\circ .\)

c) Gọi H là giao điểm của OM và AB.

Ta có MA = MB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OB (cùng là bán kính)

Nên OM là trung trực của AB. Khi đó OM \( \bot \) AB tại trung điểm H của AB

Khi đó  (g.g) suy ra \(O{A^2} = OH.OM\)

Mà OA = OC nên \(O{C^2} = OH.OM\) suy ra \(\frac{{OH}}{{OC}} = \frac{{OC}}{{OM}}\)

Kết hợp \(\widehat {COM}\) chung nên  (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {OHC} = \widehat {OCM}\) (hai góc tương ứng).

Do \(\Delta \)OHD vuông tại H và \(\Delta \)OCD vuông tại C nên O, H, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính OD

Suy ra \(\widehat {OHC} = \widehat {ODC}\). Suy ra \(\widehat {OCM} = \widehat {ODC}\)

Mà \(\widehat {OCM} + \widehat {MCD} = 90^\circ \) nên \(\widehat {ODC} + \widehat {MCD} = {90^ \circ }\) hay \(\Delta \)CDN vuông tại N

Xét \(\Delta \)CDN và \(\Delta \)MCA có \(\widehat {DNC} = \widehat {MAC} = 90^\circ ,\,\,\widehat {ODC} = \widehat {OCM}.\)

Suy ra  (g.g) (đpcm).

Gọi x (km/h) là vận tốc trung bình của bạn Bình (x > 0)

Khi đó vận tốc trung bình của An là: x + 5 (km/h)

Thời gian đi của Bình là: \(\frac{{10}}{x}\) (h)

Thời gian đi của An là: \(\frac{{10}}{{x + 5}}(h)\)

Do An đến B trước Bình 6 phút = \(\frac{1}{{10}}(h)\) nên ta có:

            \(\begin{array}{l}\frac{{10}}{x} - \frac{{10}}{{x + 5}} = \frac{1}{{10}}\\\frac{{10(x + 5)}}{{x(x + 5)}} - \frac{{10x}}{{x(x + 5)}} = \frac{1}{{10}}\\\frac{{50}}{{x(x + 5)}} = \frac{1}{{10}}\\500 = x(x + 5)\\{x^2} + 5x - 500 = 0\end{array}\)

Giải phương trình ta được x = 20 (TM); x = −25 (loại)

Vậy vận tốc của Bình là 20 km/h, vận tốc của An là 25 km/h.