Cho hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{20}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\;\left( H \right)\).

Lời giải

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;3} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - 6} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  = \left( { - 2} \right) \cdot 0 + 3 \cdot \left( { - 6} \right) =  - 18\).

b) \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{ - 18}}{{\sqrt {13}  \cdot \sqrt {36} }} =  - \frac{{3\sqrt {13} }}{{13}}\).

c) Gọi \(D\left( {x;y} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {DC}  = \left( {2 - x; - 2 - y} \right),\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;3} \right)\).

Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x =  - 2\\ - 2 - y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y =  - 5\end{array} \right.\).

Vậy \(D\left( {4; - 5} \right)\).

d) Gọi \(H\left( {x;y} \right)\) là trực tâm tam giác \(ABC\).

Ta có \(\overrightarrow {AH}  = \left( {x - 4;y - 1} \right),\overrightarrow {BH}  = \left( {x - 2;y - 4} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - 6} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2; - 3} \right)\).

Do \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) nên

\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH \bot AC\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0\left( {x - 4} \right) - 6\left( {y - 1} \right) = 0\\ - 2\left( {x - 2} \right) - 3\left( {y - 4} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{13}}{2}\\y = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow H\left( {\frac{{13}}{2};1} \right)\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;    c) Đúng;    d) Đúng.

Lời giải

Tam giác \(ABC\) vuông tại A, có \(AB = \frac{{AC}}{{\tan B}} = \frac{{2,5}}{{\tan 60^\circ }} = \frac{{5\sqrt 3 }}{6}\).

Suy ra \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{6}} \right)}^2} + {{2,5}^2}}  = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\).

Ta có \(P = \overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {BM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BC} } \right)\)

\[ = \frac{1}{4}\left( { - \left| {\overrightarrow {BA} } \right|\left| {\overrightarrow {BC} } \right|\cos B + \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos C} \right)\]\[ = \frac{1}{4}\left( { - \frac{{5\sqrt 3 }}{6} \cdot \frac{{5\sqrt 3 }}{3} \cdot \cos 60^\circ  + 2,5 \cdot \frac{{5\sqrt 3 }}{3} \cdot \cos 30^\circ } \right) = \frac{{25}}{{24}} \approx 1,04\].

Trả lời: 1,04.