Cho biết phương trình $\log {}_{3}3^{x+1}-1 = 2x + \log {}_{\frac{1}{3}}2$ có hai nghiệm x1, x2. Hãy tính tổng $S= {27}^{x1}+{27}^{x2}$ (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án  ____

Ta có \({\log _3}\left( {{3^{x + 1}} - 1} \right) = 2x + {\log _{\frac{1}{3}}}2 \Leftrightarrow {\log _3}2\left( {{3^{x + 1}} - 1} \right) = 2x\)

\( \Leftrightarrow 2 \cdot {3^{x + 1}} - 2 = {3^{2x}} \Leftrightarrow {3^{2x}} - 6 \cdot {3^x} + 2 = 0.\)

Đặt \({3^x} = t\,\,\left( {t > 0} \right)\), phương trình trở thành \({t^2} - 6t + 2 = 0.\)Phương trình này luôn có hai nghiệm dương phân biệt. Đặt \({3^{{x_1}}} = {t_1},{3^{{x_2}}} = {t_2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t_1} + {t_2} = 6}\\{{t_1} \cdot {t_2} = 2}\end{array}} \right.\).

Vậy \(S = \left( {t_1^3 + t_2^3} \right) = {\left( {{t_1} + {t_2}} \right)^3} - 3{t_1} \cdot {t_2}\left( {{t_1} + {t_2}} \right) = 216 - 3 \cdot 2 \cdot 6 = 180\).

Đáp án cần nhập là: \(180\).