Tìm bán kính của đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm nằm trên đường thẳng \(d:x - 6y - 10 = 0\) và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình \({d_1}:3x + 4y + 5 = 0\) và \({d_2}:4x - 3y - 5 = 0\). Biết tâm đường tròn nằm trên trục \(Ox\).

Gọi \(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Hạ \(IH \bot AB\).

Suy ra \(I,R = IH\) là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông \(ABCD\).

\(AC\) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \(BD\) có phương trình là \(4x - 3y - 6 = 0\).

Tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 7 = 0\\4x - 3y - 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{9}{5}\\y = \frac{2}{5}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {\frac{9}{5};\frac{2}{5}} \right)\).

Ta có \(AC = 2d\left( {A,BD} \right) = 2 \cdot \frac{{\left| {3 \cdot 3 + 4 \cdot 2 - 7} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 4\). Suy ra \(AB = 2\sqrt 2 \Rightarrow AH = \sqrt 2 \).

Xét \(\Delta AIH\) có \(IH = \sqrt {A{I^2} - A{H^2}} = \sqrt {{2^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 2 \).

Vậy đường tròn nội tiếp hình vuông \(ABCD\) có phương trình là \({\left( {x - \frac{9}{5}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{2}{5}} \right)^2} = 2\).

Suy ra \(a = \frac{9}{5};b = \frac{2}{5};{R^2} = 2\). Vậy \(25ab{R^2} = 36\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2\cos t\\y = 4 + 2\sin t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 2\cos t\\y - 4 = 2\sin t\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4\).

Vậy \(a = 4\).