Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng \(d\) qua \(O\). Biết \(A\left( {10;2} \right),B\left( { - 10;8} \right)\) nằm cùng phía đối với đường thẳng \(d\). \(d\left( {A,d} \right) + d\left( {B,d} \right)\) lớn nhất bằng bao nhiêu?

Đường thẳng \(d\) đi qua \(O\) có dạng \(ax + by = 0\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\).

Ta có \(d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {10a + 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\); \(d\left( {B,d} \right) = \frac{{\left| { - 10a + 8b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Do đó \(d\left( {A,d} \right) + d\left( {B,d} \right)\)\[ = \frac{{\left| {10a + 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + \frac{{\left| { - 10a + 8b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {10a + 2b} \right| + \left| { - 10a + 8b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\].

Do \(A,B\) nằm cùng phía với đường thẳng \(d\) nên \[10a + 2b\]và \[ - 10a + 8b\] phải cùng dấu.

Do đó \[\left| {10a + 2b} \right| + \left| { - 10a + 8b} \right| = \left| {10a + 2b + \left( { - 10a} \right) + 8b} \right| = \left| {10b} \right|\].

Do đó \(d\left( {A,d} \right) + d\left( {B,d} \right) = \frac{{\left| {10b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Đặt \(a = kb,b \ne 0\). Khi đó \(d\left( {A,d} \right) + d\left( {B,d} \right) = \frac{{\left| {10b} \right|}}{{\sqrt {{k^2}{b^2} + {b^2}} }} = \frac{{10\left| b \right|}}{{\left| b \right|\sqrt {{k^2} + 1} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }}\).

Để \(\frac{{10}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }}\) lớn nhất thì \(\sqrt {{k^2} + 1} \) nhỏ nhất khi \(k = 0\)\( \Rightarrow a = 0\).

Khi đó đường thẳng \(d\) là trục hoành \(y = 0\).

Vậy \(d\left( {A,d} \right) + d\left( {B,d} \right)\) lớn nhất là 10.