Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng \(d\) qua \(O\). Biết \(A\left( {10;2} \right),B\left( { - 10;8} \right)\) nằm cùng phía đối với đường thẳng \(d\). \(d\left( {A,d} \right) + d\left( {B,d} \right)\) lớn nhất bằng bao nhiêu?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
10
Đường thẳng \(d\) đi qua \(O\) có dạng \(ax + by = 0\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\).
Ta có \(d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {10a + 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\); \(d\left( {B,d} \right) = \frac{{\left| { - 10a + 8b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
Do đó \(d\left( {A,d} \right) + d\left( {B,d} \right)\)\[ = \frac{{\left| {10a + 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + \frac{{\left| { - 10a + 8b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {10a + 2b} \right| + \left| { - 10a + 8b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\].
Do \(A,B\) nằm cùng phía với đường thẳng \(d\) nên \[10a + 2b\]và \[ - 10a + 8b\] phải cùng dấu.
Do đó \[\left| {10a + 2b} \right| + \left| { - 10a + 8b} \right| = \left| {10a + 2b + \left( { - 10a} \right) + 8b} \right| = \left| {10b} \right|\].
Do đó \(d\left( {A,d} \right) + d\left( {B,d} \right) = \frac{{\left| {10b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
Đặt \(a = kb,b \ne 0\). Khi đó \(d\left( {A,d} \right) + d\left( {B,d} \right) = \frac{{\left| {10b} \right|}}{{\sqrt {{k^2}{b^2} + {b^2}} }} = \frac{{10\left| b \right|}}{{\left| b \right|\sqrt {{k^2} + 1} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }}\).
Để \(\frac{{10}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }}\) lớn nhất thì \(\sqrt {{k^2} + 1} \) nhỏ nhất khi \(k = 0\)\( \Rightarrow a = 0\).
Khi đó đường thẳng \(d\) là trục hoành \(y = 0\).
Vậy \(d\left( {A,d} \right) + d\left( {B,d} \right)\) lớn nhất là 10.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Sách - Sổ tay kiến thức trọng tâm Vật lí 10 VietJack - Sách 2025 theo chương trình mới cho 2k9 ( 31.000₫ )
- Trọng tâm Toán, Văn, Anh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST, CD VietJack - Sách 2025 ( 13.600₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a) Điểm \(N\) thuộc trục \(Oy\) sao cho \(N\) cách đều \(B,C\) có tung độ bằng \( - \frac{5}{8}\).
Đúng
Sai
b) \(A,B,C\) là ba đỉnh của một tam giác.
Đúng
Sai
c) \(ABC\) là tam giác vuông.
Đúng
Sai
d) Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi \(D\left( {2; - 3} \right)\).
Đúng
Sai
Lời giải
a) Điểm \(N\left( {0;b} \right) \in Oy\).
Vì \(N\) cách đều \(B,C\) nên \(NB = NC\)\( \Leftrightarrow {2^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 3 - b} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 8b = - 5 \Leftrightarrow b = - \frac{5}{8}\).
Điểm \(N\) có tung độ là \( - \frac{5}{8}\).
b) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;0} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 4} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương nên \(A,B,C\) là ba đỉnh của một tam giác.
c) Có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 3 \cdot 0 + 0 \cdot \left( { - 4} \right) = 0\).
Do đó tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
d) Gọi \(D\left( {x;y} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;0} \right);\overrightarrow {DC} = \left( { - 1 - x; - 3 - y} \right)\).
Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 - x = 3\\ - 3 - y = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = - 3\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 4; - 3} \right)\].
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Lời giải
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2; - 1} \right)\) và \(R = 5\).
Vì tiếp tuyến \(d\) của đường tròn \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(\Delta \) có dạng \(3x - 4y + c = 0,c \ne - 35\).
Lại có \(d\left( {I,d} \right) = R\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {3 \cdot 2 - 4 \cdot \left( { - 1} \right) + c} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 5\)\( \Leftrightarrow \left| {10 + c} \right| = 25\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}10 + c = 25\\10 + c = - 25\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 15\\c = - 35\end{array} \right.\).
Vì \(c \ne - 35\) nên \(c = 15\). Do đó \(d:3x - 4y + 15 = 0\).
Suy ra \(b = - 4;c = 15\). Vậy \(b + c = 11\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
a) Tiêu cự của \(\left( E \right)\) là 8.
Đúng
Sai
b) Điểm \(F\left( { - 5;0} \right)\) trùng với một tiêu điểm của \(\left( E \right)\).
Đúng
Sai
c) Điểm \(K\left( {3;0} \right)\) thuộc \(\left( E \right)\).
Đúng
Sai
d) Biết rằng hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{{A^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{B^2}}} = 1\) có các tiêu điểm trùng với các tiêu điểm của \(\left( E \right)\) và đi qua điểm \(N\left( {\sqrt {15} ;1} \right)\). Điểm \(M\) là một điểm bất kì nằm trên \(\left( H \right)\) thì \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2\sqrt 3 \).
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
a) Đường thẳng \(\Delta :x - y + 3 = 0\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\).
Đúng
Sai
b) Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại \(A\) có phương trình \(x + 7y + 9 = 0\).
Đúng
Sai
c) Điểm \(A\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\).
Đúng
Sai
d) Có hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(d:x + y + 7 = 0\).
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(x + 2y - 3 = 0\).
B. \(x - 2y + 5 = 0\).
C. \(x + 2y = 0\).
D. \(x + 2y - 5 = 0\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập