Đội tuyển học sinh giỏi Toán 10 gồm 8 học sinh, trong đó có 5 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh đi thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Xác suất để 5 học sinh được chọn đi thi có cả nam và nữ và học sinh nam nhiều hơn học sinh nữ là

Số phần tử của không gian mẫu là \(8! = 40320\).

Gọi \(A\) là biến cố “Xếp được các bạn nam và bạn nữ đứng xen kẽ nhau”.

TH1: Xếp bạn nam đứng vị trí lẻ, nữ đứng vị trí chẵn có \(4! \cdot 4!\) cách.

TH2: Xếp bạn nam đứng vị trí chẵn, nữ đứng vị trí lẻ có \(4! \cdot 4!\) cách.

Suy ra \(n\left( A \right) = 2 \cdot 4! \cdot 4! = 1152\).

Do đó \(P\left( A \right) = \frac{{1152}}{{40320}} = \frac{1}{{35}} \approx 0,03\).

Số phần tử của không gian mẫu là \(C_{14}^6 = 3003\).

a) Gọi \(A\) là biến cố “Có đúng một màu”. Khi đó \(n\left( A \right) = C_7^6 = 7\).

Do đó \(P\left( A \right) = \frac{7}{{3003}} = \frac{1}{{429}}\).

b) Gọi \(B\) là biến cố “Có đúng hai màu đỏ và vàng ” \( \Rightarrow n\left( B \right) = C_7^6 = 7\).

Do đó \(P\left( B \right) = \frac{7}{{3003}} = \frac{1}{{429}}\).

c) Gọi \(C\) là biến cố “Có ít nhất 1 bi đỏ”.

\(\overline C \) là biến cố “Không có bi màu đỏ” \( \Rightarrow n\left( {\overline C } \right) = C_9^6 = 84\).

Khi đó \(P\left( {\overline C } \right) = \frac{{84}}{{3003}} = \frac{4}{{143}}\). Do đó \(P\left( C \right) = 1 - \frac{4}{{143}} = \frac{{139}}{{143}}\).

d) Gọi \(D\) là biến cố “Có ít nhất 2 bi xanh”.

\(\overline D \) là biến cố “Có nhiều nhất 1 bi xanh”.

TH1: Không có bi xanh có \(C_7^6 = 7\) cách.

TH2: Có 1 bi xanh có \(C_7^1 \cdot C_7^5 = 147\) cách.

Suy ra \(n\left( {\overline D } \right) = 154\). Do đó \(P\left( {\overline D } \right) = \frac{{154}}{{3003}} = \frac{2}{{39}} \Rightarrow P\left( D \right) = \frac{{37}}{{39}}\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Đúng;     c) Đúng;    d) Sai.