Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm \(D\) nằm ngoài đường tròn. Qua \(D\) kẻ đường thẳng \(a\) vuông góc với \(OD\) tại \(D\). Lấy điểm \(A\) bất kì trên đường thẳng \(a\). Từ điểm \(A\) kẻ tiếp tuyến \(AE\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(E\) là tiếp điểm).

a) Chứng minh bốn điểm \(D,A,E,O\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Trên đường tròn \(\left( O \right)\) lấy điểm \(F\) sao cho \(OA\) là tia phân giác của \[\widehat {EOF}\]. Dây \[EF\] cắt \[OD,OA\] lần lượt tại \[K,H\]. Chứng minh rằng \[AF\] là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) và \[OK.OD = OH.OA\]

c) Kẻ đường kính \[EB\] của đường tròn \(\left( O \right)\). Kẻ \[FC \bot EB\] tại \[C\],  \[AB\] cắt  \[FC\] tại \[I\]. Chứng minh rằng \[I\] là trung điểm của \[FC\].

Gọi \(x\) và \(y\) (chiếc xe) lần lượt là số xe 35 chỗ ngồi và 50 chỗ ngồi \(\left( {x,\,\,y \in \mathbb{N}} \right).\)

Theo đề bài, ta có: \(35x + 50y = 645\) hay \(7x + 10y = 129.\)

Vì \(10y\) là số chẵn nên \(7x\) phải là số lẻ suy ra \(x\) là số lẻ.

Mặt khác \(7x \le 129\) suy ra \(x \le 18.\)

Do đó \(x \in \left\{ {1\,;\,\,3\,;\,\,5\,;\,\,7\,;\,\,9\,;\,\,11\,;\,\,13\,;\,\,15\,;\,\,17} \right\}.\)

Từ \(7x + 10y = 129\) nên \(y = \frac{{129 - 7x}}{{10}}.\)

Ta có bảng sau:

Vì \(x,\,\,y \in \mathbb{N}\) nên số chiếc xe để vừa đủ số chỗ ngồi cho 645 người thì \(\left( {x\,;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( {7\,;\,\,8} \right)\,;\,\,\left( {17\,;\,\,1} \right)} \right\}.\)

Tổng chi phí thuê xe là: \(C = 3\,\,500\,\,000x + 5\,\,200\,\,000y\) (đồng).

• Với $x=7;y=8$ thì \(C = 3\,\,500\,\,000 \cdot 7 + 5\,\,200\,\,000 \cdot 8 = 66\,\,100\,\,000\) (đồng).

• Với $x=17;y=1$ thì \(C = 3\,\,500\,\,000 \cdot 17 + 5\,\,200\,\,000 \cdot 1 = 64\,\,700\,\,000\) (đồng).

Ta thấy \(64\,\,700\,\,000 < 66\,\,100\,\,000\).

Do đó, nhà trường cần thuê 17 chiếc xe chỗ ngồi và 1 chiếc xe 50 chỗ ngồi để vừa đủ số chỗ ngồi cho 645 người và chi phí thuê xe là ít nhất

1) Gọi vận tốc ô tô là x (km/h), x > 20

Vận tốc xe máy là x – 20 (km/h)

Thời gian đi của ô tô là: \(\frac{{120}}{x}\) (h)

Thời gian đi của xe máy là: \(\frac{{120}}{{x - 20}}\) (h)

Vì xe máy đến B muộn hơn xe ô tô là 1 giờ nên ta có phương trình: \(\frac{{120}}{{x - 20}} - \frac{{120}}{x} = 1\)

Hay: \({x^2} - 20x - 2400 = 0\)

Nên \(\left( {x - 60} \right)\left( {x + 40} \right) = 0\)

Ta được \(x = 60(TM);\,x =  - 40(KTM)\)

Vậy vận tốc của ô tô là 60km/h; vận tốc của xe máy là 40km/h

2) Gọi số tiền tiết kiệm mà chị Ngân gửi là x (đồng), x > 0

Tiền lãi chị Ngân nhận được sau 12 tháng là: \(6,2\% x\)( đồng)

Tổng số tiền chị Ngân nhận được sau khi gửi 12 tháng là \(x + 6,2\% x = 106,2\% x\)(đồng)

Chị Ngân dự định tổng số tiền nhận được sau khi gửi 12 tháng ít nhất là 318 600 000 đồng nên ta có bất phương trình:

\(106,2\% x \ge 318600000\)

\(x \ge 300000000\)

Vì x nhỏ nhất nên \(x = 300000000\)

Vậy chị Ngân phải gửi số tiền tiết kiệm ít nhất là 300 000 000 đồng.