Cho điểm \(A\) và \(B\) trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

2)

a) Xét \(\Delta ABC\) có \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên \[\frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{DA}}{{DC}}\] (tính chất đường phân giác), do đó \[\frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{DA}}{{BA}}.\]

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có \[\frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{DA}}{{BA}} = \frac{{DC + DA}}{{BC + BA}} = \frac{{AC}}{{BC + BA}} = \frac{5}{{6 + 4}} = \frac{1}{2}.\]

Do đó \(AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2{\rm{\;cm}};\) \(DC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3{\rm{\;cm}}.\)

b) Xét \(\Delta BCD\) có \(CI\) là tia phân giác của \(\widehat {DCB}\) nên \[\frac{{DI}}{{BI}} = \frac{{DC}}{{BC}} = \frac{1}{2}\] (tính chất đường phân giác), suy ra \[\frac{{DI}}{{BI + DI}} = \frac{1}{{2 + 1}},\] hay \(\frac{{DI}}{{DB}} = \frac{1}{3}.\)

Chứng minh tương tự, ta cũng có:

⦁ \(\frac{{BE}}{{EA}} = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{6}{5},\) suy ra \(\frac{{BE}}{{BA}} = \frac{6}{{11}}.\)

⦁ \(\frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{6}{5},\) suy ra \(\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{2}{5}.\)

c) Gọi \({h_1},\,\,{h_2},\,\,{h_3}\) lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ \(E\) đến \(BD;\) độ dài đường cao kẻ từ \(D\) đến \(AB;\) độ dài đường cao kẻ từ \(B\) đến \(AC.\)

Ta có: \[{S_{DIE}} = \frac{1}{2} \cdot {h_1} \cdot DI;\] \({S_{BDE}} = \frac{1}{2}{h_1} \cdot BD = \frac{1}{2}{h_2} \cdot BE;\)

\({S_{ABD}} = \frac{1}{2}{h_2} \cdot AB = \frac{1}{2}{h_3} \cdot AD;\) \({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot {h_3} \cdot AC.\)

Do đó \[\frac{{{S_{DIE}}}}{{{S_{BDE}}}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot {h_1} \cdot DI}}{{\frac{1}{2}{h_1} \cdot BD}} = \frac{{DI}}{{BD}} = \frac{1}{3};\] \[\frac{{{S_{BDE}}}}{{{S_{ABD}}}} = \frac{{\frac{1}{2}{h_2} \cdot BE}}{{\frac{1}{2}{h_2} \cdot AB}} = \frac{{BE}}{{AB}} = \frac{6}{{11}};\]

\[\frac{{{S_{ABD}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}{h_3} \cdot AD}}{{\frac{1}{2}{h_3} \cdot AC}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{2}{5}.\]

Khi đó \[{S_{DIE}} = \frac{1}{3}{S_{BDE}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{{11}}{S_{ABD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{{11}} \cdot \frac{2}{5}{S_{ABC}} = \frac{4}{{55}}{S_{ABC}}.\]

Suy ra \(\frac{{{S_{DIE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{4}{{55}}.\)