Cho hình elip \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) như hình vẽ bên. Đường thẳng \(d\) song song với trục hoành và cách trục hoành một khoảng bằng 2, \(d\) tạo với elip một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {5; - 2} \right),R = 5\sqrt 2 \).

a) Ta có \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5 - \left( { - 2} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt 2 }} = 5\sqrt 2 = R\).

Do đó đường thẳng \(\Delta :x - y + 3 = 0\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\).

b) Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( { - 7;1} \right)\).

Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại \(A\)  nhận \(\overrightarrow {IA} = \left( { - 7;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\( - 7\left( {x + 2} \right) + \left( {y + 1} \right) = 0\) hay \(7x - y + 13 = 0\).

c) Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình đường tròn ta thấy thỏa mãn.

Do đó điểm \(A\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\).

d) Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(d:x + y + 7 = 0\) có dạng \(d':x + y + c = 0,c \ne 7\)

Lại có \(d\left( {I,d'} \right) = R\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {5 - 2 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 5\sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \left| {3 + c} \right| = 10\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 + c = 10\\3 + c = - 10\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 7\\c = - 13\end{array} \right.\).

Vì \(c \ne 7\) nên \(c = - 13\).

Vậy có 1 tiếp tuyến là \(d':x + y - 13 = 0\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;   c) Đúng;    d) Sai.

Ta có \(F\left( {2;0} \right)\) là tiêu điểm của \(\left( P \right)\). Chọn C.