Cho hình elip \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) như hình vẽ bên. Đường thẳng \(d\) song song với trục hoành và cách trục hoành một khoảng bằng 2, \(d\) tạo với elip một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Dựa vào hình vẽ ta thấy elip đi qua 2 điểm \(\left( {5;0} \right);\left( {0;3} \right)\) nên ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{25}}{{{a^2}}} = 1\\\frac{9}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 9\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Đường thẳng \(d\) song song với trục hoành và cách trục hoành một khoảng bằng 2 có phương trình là \(y = 2\) hoặc \(y = - 2\).
Xét trường hợp \(y = 2\) (tương tự \(y = - 2\)).
Tọa độ giao điểm của elip với đường thẳng \(y = 2\)là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\\y = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm \frac{{5\sqrt 5 }}{3}\\y = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {M_1}\left( {\frac{{5\sqrt 5 }}{3};2} \right);{M_2}\left( { - \frac{{5\sqrt 5 }}{3};2} \right)\).
Ta có \(OM_2^2 = {\left( {\frac{{ - 5\sqrt 5 }}{3}} \right)^2} + {2^2}\).
Ta có \({M_1}{M_2} = 2I{M_2} = 2\sqrt {OM_2^2 - I{O^2}} = 2\sqrt {{{\left( {\frac{{ - 5\sqrt 5 }}{3}} \right)}^2} + {2^2} - {2^2}} = \frac{{10\sqrt 5 }}{3} \approx 7,45\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2; - 1} \right)\) và \(R = 5\).
Vì tiếp tuyến \(d\) của đường tròn \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(\Delta \) có dạng \(3x - 4y + c = 0,c \ne - 35\).
Lại có \(d\left( {I,d} \right) = R\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {3 \cdot 2 - 4 \cdot \left( { - 1} \right) + c} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 5\)\( \Leftrightarrow \left| {10 + c} \right| = 25\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}10 + c = 25\\10 + c = - 25\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 15\\c = - 35\end{array} \right.\).
Vì \(c \ne - 35\) nên \(c = 15\). Do đó \(d:3x - 4y + 15 = 0\).
Suy ra \(b = - 4;c = 15\). Vậy \(b + c = 11\).
Câu 2
a) Điểm \(N\) thuộc trục \(Oy\) sao cho \(N\) cách đều \(B,C\) có tung độ bằng \( - \frac{5}{8}\).
b) \(A,B,C\) là ba đỉnh của một tam giác.
c) \(ABC\) là tam giác vuông.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Điểm \(N\left( {0;b} \right) \in Oy\).
Vì \(N\) cách đều \(B,C\) nên \(NB = NC\)\( \Leftrightarrow {2^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 3 - b} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 8b = - 5 \Leftrightarrow b = - \frac{5}{8}\).
Điểm \(N\) có tung độ là \( - \frac{5}{8}\).
b) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;0} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 4} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương nên \(A,B,C\) là ba đỉnh của một tam giác.
c) Có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 3 \cdot 0 + 0 \cdot \left( { - 4} \right) = 0\).
Do đó tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
d) Gọi \(D\left( {x;y} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;0} \right);\overrightarrow {DC} = \left( { - 1 - x; - 3 - y} \right)\).
Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 - x = 3\\ - 3 - y = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = - 3\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 4; - 3} \right)\].
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \({x^2} + {y^2} + 2x + 4y - 20 = 0\).
B. \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 20 = 0\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
a) Tiêu cự của \(\left( E \right)\) là 8.
b) Điểm \(F\left( { - 5;0} \right)\) trùng với một tiêu điểm của \(\left( E \right)\).
c) Điểm \(K\left( {3;0} \right)\) thuộc \(\left( E \right)\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập