Cho hình elip \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) như hình vẽ bên. Đường thẳng \(d\) song song với trục hoành và cách trục hoành một khoảng bằng 2, \(d\) tạo với elip một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
7,45
Dựa vào hình vẽ ta thấy elip đi qua 2 điểm \(\left( {5;0} \right);\left( {0;3} \right)\) nên ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{25}}{{{a^2}}} = 1\\\frac{9}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 9\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Đường thẳng \(d\) song song với trục hoành và cách trục hoành một khoảng bằng 2 có phương trình là \(y = 2\) hoặc \(y = - 2\).
Xét trường hợp \(y = 2\) (tương tự \(y = - 2\)).
Tọa độ giao điểm của elip với đường thẳng \(y = 2\)là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\\y = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm \frac{{5\sqrt 5 }}{3}\\y = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {M_1}\left( {\frac{{5\sqrt 5 }}{3};2} \right);{M_2}\left( { - \frac{{5\sqrt 5 }}{3};2} \right)\).
Ta có \(OM_2^2 = {\left( {\frac{{ - 5\sqrt 5 }}{3}} \right)^2} + {2^2}\).
Ta có \({M_1}{M_2} = 2I{M_2} = 2\sqrt {OM_2^2 - I{O^2}} = 2\sqrt {{{\left( {\frac{{ - 5\sqrt 5 }}{3}} \right)}^2} + {2^2} - {2^2}} = \frac{{10\sqrt 5 }}{3} \approx 7,45\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a) Điểm \(N\) thuộc trục \(Oy\) sao cho \(N\) cách đều \(B,C\) có tung độ bằng \( - \frac{5}{8}\).
Đúng
Sai
b) \(A,B,C\) là ba đỉnh của một tam giác.
Đúng
Sai
c) \(ABC\) là tam giác vuông.
Đúng
Sai
d) Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi \(D\left( {2; - 3} \right)\).
Đúng
Sai
Lời giải
a) Điểm \(N\left( {0;b} \right) \in Oy\).
Vì \(N\) cách đều \(B,C\) nên \(NB = NC\)\( \Leftrightarrow {2^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 3 - b} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 8b = - 5 \Leftrightarrow b = - \frac{5}{8}\).
Điểm \(N\) có tung độ là \( - \frac{5}{8}\).
b) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;0} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 4} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương nên \(A,B,C\) là ba đỉnh của một tam giác.
c) Có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 3 \cdot 0 + 0 \cdot \left( { - 4} \right) = 0\).
Do đó tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
d) Gọi \(D\left( {x;y} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;0} \right);\overrightarrow {DC} = \left( { - 1 - x; - 3 - y} \right)\).
Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 - x = 3\\ - 3 - y = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = - 3\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 4; - 3} \right)\].
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Lời giải
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2; - 1} \right)\) và \(R = 5\).
Vì tiếp tuyến \(d\) của đường tròn \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(\Delta \) có dạng \(3x - 4y + c = 0,c \ne - 35\).
Lại có \(d\left( {I,d} \right) = R\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {3 \cdot 2 - 4 \cdot \left( { - 1} \right) + c} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 5\)\( \Leftrightarrow \left| {10 + c} \right| = 25\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}10 + c = 25\\10 + c = - 25\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 15\\c = - 35\end{array} \right.\).
Vì \(c \ne - 35\) nên \(c = 15\). Do đó \(d:3x - 4y + 15 = 0\).
Suy ra \(b = - 4;c = 15\). Vậy \(b + c = 11\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \({x^2} + {y^2} + 2x + 4y - 20 = 0\).
B. \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 20 = 0\).
C. \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\).
D. \({x^2} + {y^2} + 2x + 4y + 20 = 0\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
a) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1} \right)\).
Đúng
Sai
b) Khoảng cách từ \(O\) đến đường thẳng \(d\) bằng \(2\sqrt 2 \).
Đúng
Sai
c) Đường thẳng \(d\) tạo với hệ trục một tam giác có diện tích bằng 4.
Đúng
Sai
d) Góc giữa \(d\) và trục \(Ox\) bằng \(45^\circ \).
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
a) Tiêu cự của \(\left( E \right)\) là 8.
Đúng
Sai
b) Điểm \(F\left( { - 5;0} \right)\) trùng với một tiêu điểm của \(\left( E \right)\).
Đúng
Sai
c) Điểm \(K\left( {3;0} \right)\) thuộc \(\left( E \right)\).
Đúng
Sai
d) Biết rằng hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{{A^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{B^2}}} = 1\) có các tiêu điểm trùng với các tiêu điểm của \(\left( E \right)\) và đi qua điểm \(N\left( {\sqrt {15} ;1} \right)\). Điểm \(M\) là một điểm bất kì nằm trên \(\left( H \right)\) thì \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2\sqrt 3 \).
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập