Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x - {m^2}}}{{x + 1}}\), với \(m\) là tham số. Gọi \({m_1},\,\,{m_2}\,\,\left( {{m_1} < {m_2}} \right)\) là các giá trị của tham số \(m\) thỏa mãn \(2\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) - \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = 8.\) Tổng \(2{m_1} + 3{m_2}\) bằng:

          

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{2 + {m^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\,,\,\,\forall x \in \left[ {0\,;\,\,2} \right]\)

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = - {m^2}\,;\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = \frac{{4 - {m^2}}}{3}.\)

Do đó \[2\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) - \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = 8. \Leftrightarrow 2\left( {\frac{{4 - {m^2}}}{3}} \right) + {m^2} = 8\]\( \Leftrightarrow {m^2} - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = - 4}\\{m = 4}\end{array}} \right.\).

Vậy \(2{m_1} + 3{m_2} = 2 \cdot \left( { - 4} \right) + 3 \cdot 4 = 4.\) Chọn C.