Tìm hai số biết rằng tổng của chúng bằng 17 đơn vị. Nếu số thứ nhất tăng thêm 3 đơn vị, số thứ 2 tăng thêm 2 đơn vị thì tích của chúng bằng 105 đơn vị.

a) \({x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x - m - 7 = 0\)

Ta có \(\Delta ' = {\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {m - 7} \right) = {m^2} + 5m + 11 = {\left( {m + \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{4} > 0,\forall m \Rightarrow \Delta ' > 0\) với mọi m

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) \({x^2} - 4{m^2}x - 4m - 2 = 0\)

Ta có \(\Delta ' = 4{m^4} + 4m + 2 = 2(2{m^4} + 2m + 1)\)

mà \(2{m^4} + 2m + 1 = 2\left( {{m^4} - {m^2} + \frac{1}{4}} \right) + 2\left( {{m^2} + m + \frac{1}{4}} \right) = 2{\left( {{m^2} - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\)

Dấu “=” xảy ra khi \({m^2} - \frac{1}{2} = 0\)và \(m + \frac{1}{2} = 0\) suy ra vô lý \( \Rightarrow \Delta ' > 0\forall m.\)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

a) Ta có

\[\begin{array}{l}{x^2} + \left( {m - 5} \right)x - 3\left( {m - 2} \right) = 0\\{x^2} - 3x + \left( {m - 2} \right)x - 3\left( {m - 2} \right) = 0\end{array}\]

\[\begin{array}{l}x\left( {x - 3} \right) + \left( {m - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\\left( {x - 3} \right)\left( {x + m - 2} \right) = 0\end{array}\]

\[x = 3\] và \[x = 2 - m\]

Vậy phương trình trên luôn có nghiệm \[x = 3\] với mọi \[m \in \mathbb{R}\]

b) Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi hai nghiệm của phương trình trùng nhau

Theo câu a) suy ra \[2 - m = 3 \Rightarrow m =  - 1\]

Ta cũng có thể xét \[\Delta  = {\left( {m - 5} \right)^2} + 4.3\left( {m - 2} \right) = {m^2} + 2m + 1 = {\left( {m + 1} \right)^2}\]

Phương trình có nghiệm kép khi

\[\begin{array}{l}\Delta  = 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} = 0\\m =  - 1\end{array}\]