Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} + 5x + 3m - 1 = 0\) (\[x\] là ẩn số, \(m\) là tham số) có hai nghiệm \[{x_1}\], \[{x_2}\] thỏa mãn \(x_1^3 - x_2^3 + 3{x_1}{x_2} = 75\)
Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} + 5x + 3m - 1 = 0\) (\[x\] là ẩn số, \(m\) là tham số) có hai nghiệm \[{x_1}\], \[{x_2}\] thỏa mãn \(x_1^3 - x_2^3 + 3{x_1}{x_2} = 75\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
\[\Delta = {5^2} - 4.1.\left( {3m - 1} \right) = 29 - 12m\]
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[ \Rightarrow \Delta \ge 0 \Rightarrow m \le \frac{{29}}{{12}}\]
Áp dụng hệ thức Viète \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 5\\{x_1}{x_2} = 3m - 1\end{array} \right.\)
Ta có: \(x_1^3 - x_2^3 + 3{x_1}{x_2} = 75\)
\( \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right) + 3{x_1}{x_2} = 75\)
\( \Rightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {25 - {x_1}{x_2}} \right) + 3{x_1}{x_2} = 75\)
\( \Leftrightarrow 25\left( {{x_1} - {x_2}} \right) - \left( {{x_1} - {x_2}} \right){x_1}{x_2} + 3{x_1}{x_2} = 75\)
\( \Rightarrow {x_1} - {x_2} = 3\)
Kết hợp \({x_1} + {x_2} = - 5\) suy ra \({x_1} = - 1;{x_2} = - 4\) Thay vào \({x_1}{x_2} = 3m - 1\) suy ra \(m = \frac{5}{3}\)
Vậy \(m = \frac{5}{3}\) là giá trị cần tìm
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
1. Với \(m = - 3\) ta có phương trình \({x^2} + 8x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = - 8{\rm{\;}}{\rm{.\;}}}\end{array}} \right.\)
2. Phương trình \[\left( 1 \right)\]có 2 nghiệm phân biệt khi
\({\rm{\Delta '}} \ge 0 \Leftrightarrow {(m - 1)^2} + \left( {m + 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + m + 3 \ge 0\)
\( \Leftrightarrow {m^2} - m + 4 \ge 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0\) đúng với mọi \(m\)
Vậy chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m\).
Theo hệ thức Viète ta có
Ta có:
\[\begin{array}{l}x_1^2 + {\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} = 10 & \\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\\ \Leftrightarrow 4{(m - 1)^2} + 2\left( {m + 3} \right) = 10 & \end{array}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\rm{ }}4{m^2} - 6m + 10 = 10\\\; \Leftrightarrow {\rm{\;}}2m\left( {2m - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\{m = \frac{3}{2}.}\end{array}} \right.\end{array}\]
Vậy với \(m = 0\) hoặc \(m = \frac{3}{2}\)thỏa yêu cầu bài toán
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta = {m^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow |m| \ge 2\)
Theo hệ thức Viète : \(S = {x_1} + {x_2} = - m\,;\)\(P = {x_1}{x_2} = 1\).
a) Ta có \(x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {S^3} - 3PS = - {m^3} + 3m\).
b) \(\frac{{x_1^2}}{{x_2^2}} + \frac{{x_2^2}}{{x_1^2}} = {\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} - 2\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} \cdot \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \left( {\frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}}} \right) - 2\).
\( = \left( {\frac{{{S^2} - 2P}}{P}} \right) - 2 = {\left( {{m^2} - 2} \right)^2} - 2 = {m^4} - 4m + 2\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập