Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} + 5x + 3m - 1 = 0\) (\[x\] là ẩn số, \(m\) là tham số) có hai nghiệm \[{x_1}\], \[{x_2}\] thỏa mãn \(x_1^3 - x_2^3 + 3{x_1}{x_2} = 75\)

a)  Vì phương trình \({x^2} - 2x + m + 3 = 0\) có nghiệm \(x =  - 1\) nên ta có:

    \({( - 1)^2} - 2.( - 1) + m + 3 = 0 \Leftrightarrow m + 6 = 0 \Leftrightarrow m =  - 6\)

Áp dụng hệ thức Viète, ta có:

    \({x_1} + {x_2} = 2 \Leftrightarrow  - 1 + {x_2} = 2 \Leftrightarrow {x_2} = 3\)

Vậy \(m = 6\) và nghiệm còn lại là \(x = 3\).

b)  \(\Delta ' = {1^2} - 1.\left( {m + 3} \right) =  - m - 2\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\iff {\Delta }^{\text{'}}>0\iff m<-2$

Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m + 3\end{array} \right.\)

Ta có

\(\begin{array}{l}x_1^3 + x_2^3 = 8\\ \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^3} - 3{x_1}{x_2}({x_1} + {x_2}) = 8\\ \Leftrightarrow {2^3} - 3.(m + 3).2 = 8\\ \Leftrightarrow 6(m + 3) = 0\\ \Leftrightarrow m + 3 = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow m =  - 3\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy \(m =  - 3\) là giá trị cần tìm.

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta = {m^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow |m| \ge 2\)

Theo hệ thức Viète : \(S = {x_1} + {x_2} = - m\,;\)\(P = {x_1}{x_2} = 1\).

a) Ta có \(x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {S^3} - 3PS = - {m^3} + 3m\).

b) \(\frac{{x_1^2}}{{x_2^2}} + \frac{{x_2^2}}{{x_1^2}} = {\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} - 2\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} \cdot \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \left( {\frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}}} \right) - 2\).

\( = \left( {\frac{{{S^2} - 2P}}{P}} \right) - 2 = {\left( {{m^2} - 2} \right)^2} - 2 = {m^4} - 4m + 2\).