Cho phương trình \({x^2} - 2(m + 1)x + {m^2} + m - 1 = 0\) (\(m\) là tham số)

a)   Giải phương trình đã cho với \(m = 0\).

b)   Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{x_1}\], \[{x_2}\] thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = 4\)

1. Với \(m = - 3\) ta có phương trình \({x^2} + 8x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = - 8{\rm{\;}}{\rm{.\;}}}\end{array}} \right.\)

2. Phương trình \[\left( 1 \right)\]có 2 nghiệm phân biệt khi

\({\rm{\Delta '}} \ge 0 \Leftrightarrow {(m - 1)^2} + \left( {m + 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + m + 3 \ge 0\)                           

          \( \Leftrightarrow {m^2} - m + 4 \ge 0\)
          \( \Leftrightarrow {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0\) đúng với mọi \(m\)
Vậy chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

Theo hệ thức Viète ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m-1\right)\\ x_1{x}_2=-m-3\end{array}\right.$
Ta có:

       \[\begin{array}{l}x_1^2 + {\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} = 10 & \\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\\ \Leftrightarrow 4{(m - 1)^2} + 2\left( {m + 3} \right) = 10 & \end{array}\]

          \[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\rm{ }}4{m^2} - 6m + 10 = 10\\\; \Leftrightarrow {\rm{\;}}2m\left( {2m - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\{m = \frac{3}{2}.}\end{array}} \right.\end{array}\]

Vậy với \(m = 0\) hoặc \(m = \frac{3}{2}\)thỏa yêu cầu bài toán

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta = {m^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow |m| \ge 2\)

Theo hệ thức Viète : \(S = {x_1} + {x_2} = - m\,;\)\(P = {x_1}{x_2} = 1\).

a) Ta có \(x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {S^3} - 3PS = - {m^3} + 3m\).

b) \(\frac{{x_1^2}}{{x_2^2}} + \frac{{x_2^2}}{{x_1^2}} = {\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} - 2\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} \cdot \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \left( {\frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}}} \right) - 2\).

\( = \left( {\frac{{{S^2} - 2P}}{P}} \right) - 2 = {\left( {{m^2} - 2} \right)^2} - 2 = {m^4} - 4m + 2\).