Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right);\,y = f'\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1\), \(f\left( x \right) = f'\left( x \right).\sqrt {3x} \), với mọi \(x > 0\). Tính \(f\left( 5 \right)\)? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Gọi vận tốc của xe khi bắt đầu phanh là \({v_0}\) \(\left( {m/s} \right)\)

Vận tốc tại thời điểm \(t\) kể từ lúc bắt đầu phanh là: \(v\left( t \right) = \int {\left( { - 5} \right){\rm{dt}}}  =  - 5t + C\).

Vận tốc của vật tại thời điểm bắt đầu phanh xe là \({v_0}\,\left( {\,m/s} \right)\) nên ta có \(v\left( 0 \right) = {v_0} \Rightarrow C = {v_0} \Rightarrow v\left( t \right) =  - 5t + {v_0}\)

Quãng đường vật đi được tại thời điểm \(t\) kể từ khi bắt đầu đạp phanh là \(S\left( t \right) = \int {v(t){\rm{dt}}} \)\( = \int {\left( { - 5t + {v_0}} \right){\rm{dt}}}  =  - \frac{5}{2}{t^2} + {v_0}t + C\).

Ta có \(S\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow S\left( t \right) =  - \frac{5}{2}{t^2} + {v_0}t\).

Khi xe dừng hẳn ta có \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - 5t + {v_0} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{{v_0}}}{5}\).

Quãng đường xe đi được từ khi bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn là \(S = S\left( {\frac{{{v_0}}}{5}} \right) =  - \frac{5}{2}{\left( {\frac{{{v_0}}}{5}} \right)^2} + \frac{{v_0^2}}{5} = \frac{{v_0^2}}{{10}}\) \(\left( m \right)\).

Quãng đường người lái xe đi từ khi nhìn thấy chướng ngại vật đến khi đạp phanh là \({v_0}\) \(\left( m \right)\).

Theo bài ra ta có phương trình \(\frac{{v_0^2}}{{10}} + {v_0} = 41,6\).

Giải phương trình ta được \(\left[ \begin{array}{l}{v_0} = 16\\{v_0} =  - 26\end{array} \right.\).

Vậy vận tốc khi người lái xe bắt đầu phanh là \(16\,\,\left( {m/s} \right)\).

Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + 1}} = 1 + \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} = 1 + \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{{x^2} + 1}} = 1 + {\left[ {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]^\prime }\)

\( \Rightarrow \int {f(x){\rm{d}}x}  = \int {1{\rm{d}}x}  + \int {{{\left[ {\ln ({x^2} + 1)} \right]}^\prime }{\rm{d}}x}  = x + \ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\)\( \Rightarrow F\left( x \right) = x + \ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\).

\(F\left( 0 \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(0 + \ln \left( {{0^2} + 1} \right) + C = 0 \Leftrightarrow C = 0\) \( \Rightarrow F\left( x \right) = x + \ln \left( {{x^2} + 1} \right)\).

Xét phương trình \(F\left( x \right) = x\left[ {1 + \log ({x^2} + 1)} \right]\).

Điều kiện: \(x \in \mathbb{R}\)

Phương trình \( \Leftrightarrow \ln \left( {{x^2} + 1} \right) = x\log \left( {{x^2} + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \ln 10.\log \left( {{x^2} + 1} \right) - x\log \left( {{x^2} + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \log \left( {{x^2} + 1} \right).\left( {\ln 10 - x} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\log \left( {{x^2} + 1} \right) = 0\\\ln 10 - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 1 = 1\\x = \ln 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \ln 10\end{array} \right.\).