Cho phương trình \({x^2} + 2mx + 2m - 1 = 0\) (\(m\) là tham số). Gọi \[{x_1}\], \[{x_2}\] là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của \(m\) để \(A = x_1^2{x_2} + {x_1}x_2^2\) đạt giá trị lớn nhất.

a) Vì \(x + y = 18\) và \(xy = 77\) nên \(x,y\) là hai nghiệm của phương trình \({t^2} - 18t + 77 = 0.\)

Giải phương trình trên ta được \(t = 7,t = 11\).

Vậy hai số \(x,y\) cần tìm là\(\left( {x;y} \right) = \left( {7;11} \right),\left( {x;y} \right) = \left( {11;7} \right)\).

b) Vì \(x + y =  - 3\) và \(xy = 5\) nên \(x,y\) là hai nghiệm của phương trình \({t^2} + 3t + 5 = 0\)

Phương trình trên có \({\rm{\Delta }} =  - 11 < 0\) nên vô nghiệm.

Vậy không tồn tại hai số \(x,y\) thỏa đề bài.

c) Vi \(x + \left( { - y} \right) = 2\sqrt 3 \) và \(x \cdot \left( { - y} \right) =  - 1\) nên \(x, - y\) là hai nghiệm của phương trình

\({t^2} - 2\sqrt 3 t - 1 = 0\)

Giải phương trình trên ta được các nghiệm \(t = 2 - \sqrt 3 ,t = 2 + \sqrt 3 \).

Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + \sqrt 3 }\\{ - y =  - 2 + \sqrt 3 }\end{array}{\rm{\;\;}}} \right.\)hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2 + \sqrt 3 }\\{ - y = 2 + \sqrt 3 }\end{array}} \right.\)

Vậy hai số \(x,y\) cần tìm là\(\left( {x;y} \right) = \left( {2 + \sqrt 3 ;2 - \sqrt 3 } \right),\left( {x;y} \right) = \left( { - 2 + \sqrt 3 ; - 2 - \sqrt 3 } \right)\).

d) Ta có:

\({x^2} + {y^2} = 34 \Leftrightarrow {(x + y)^2} - 2xy = 34 \Leftrightarrow {(x + y)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 2}\\{x + y =  - 2.}\end{array}} \right.\)

 Với \(x + y = 2\), ta được hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 2}\\{xy =  - 15{\rm{\;\;}}}\end{array}} \right.\)

Suy ra, \(x,y\) là hai nghiệm của phương trình \({t^2} - 2t - 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t =  - 3}\\{t = 5{\rm{\;}}{\rm{.\;}}}\end{array}} \right.\)

Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 3}\\{y = 5}\end{array}{\rm{\;}}} \right.\)hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{y =  - 3}\end{array}} \right.\)

 Với \(x + y =  - 2\), ta được hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y =  - 2}\\{xy =  - 15}\end{array}} \right.\)

Suy ra, \(x,y\) là hai nghiệm của phương trình \({t^2} + 2t - 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 3}\\{t =  - 5{\rm{\;\;}}}\end{array}} \right.\)

Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y =  - 5}\end{array}{\rm{\;}}} \right.\)hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 5}\\{y = 3}\end{array}} \right.\)

Vậy hai số \(x,y\) cần tìm là\(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( { - 3;5} \right),\left( {5; - 3} \right),\left( {3; - 5} \right);\left( { - 5;3} \right)} \right\}\).

a) ${\Delta }^{\text{'}}={\left[-\left(m-1\right)\right]}^2-1.\left(m-3\right)=m^2-3m+4={\left(m-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}>0$ $\forall m$

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Theo hệ thức Viète, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m - 1)\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 2\\2{x_1}{x_2} = 2m - 6\end{array} \right.\]

\( \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} - 2{x_1}{x_2} - 4 = 0\) không phụ thuộc vào \(m\).

c) \(P = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 4{\left( {m - 1} \right)^2} - 2\left( {m - 3} \right)\)

\( = {\left( {2m - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} \ge \frac{{15}}{4}\), \(\forall m\)

Do đó \({P_{\min }} = \frac{{15}}{4}\) và dấu  xảy ra khi \(2m - \frac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{5}{4}\)

Vậy \({P_{\min }} = \frac{{15}}{4}\) với \(m = \frac{5}{4}\).