Cho phương trình \({x^2} + 2mx + 2m - 1 = 0\) (\(m\) là tham số). Gọi \[{x_1}\], \[{x_2}\] là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của \(m\) để \(A = x_1^2{x_2} + {x_1}x_2^2\) đạt giá trị lớn nhất.

1. Vì \(\Delta ' = {(m + 1)^2} - \left( {4m - 1} \right) = {m^2} - 2m + 2 = {(m - 1)^2} + 1 \ge 1,\forall m \in \mathbb{R}\)

nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Hệ thức Viète: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2m + 2}\\{{x_1}{x_2} = 4m - 1}\end{array}} \right.\)

Theo đề: \(x_1^2 + x_2^2 = 10\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\)

\( \Leftrightarrow 4{(m + 1)^2} - 2\left( {4m - 1} \right) = 10\)

\( \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m =  \pm 1\)

Vậy \(m =  - 1,m = 1\) là giá trị cần tìm.

2. Hệ thức Viète:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2m + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}\\{{x_1}{x_2}{\rm{ =  4m  -  1       }}\,\,\,\,\,\,{\rm{(2)\;\;}}}\end{array}} \right.\)

Từ \(\left( 1 \right)\)ta được: \(2m = {x_1} + {x_2} - 2\)

Thay vào \(\left( 2 \right)\) ta được:\({x_1}.{x_2} = 2({x_1} + {x_2} - 2) - 1 \Leftrightarrow 2{x_1} + 2{x_2} - {x_1}{x_2} = 5.\)

Biểu thức: \(2{x_1} + 2{x_2} - {x_1}{x_2} = 5\) luôn đúng với mọi \(m.\)

Vậy đây là biểu thức cần tìm.

a) Vì \(x + y = 18\) và \(xy = 77\) nên \(x,y\) là hai nghiệm của phương trình \({t^2} - 18t + 77 = 0.\)

Giải phương trình trên ta được \(t = 7,t = 11\).

Vậy hai số \(x,y\) cần tìm là\(\left( {x;y} \right) = \left( {7;11} \right),\left( {x;y} \right) = \left( {11;7} \right)\).

b) Vì \(x + y =  - 3\) và \(xy = 5\) nên \(x,y\) là hai nghiệm của phương trình \({t^2} + 3t + 5 = 0\)

Phương trình trên có \({\rm{\Delta }} =  - 11 < 0\) nên vô nghiệm.

Vậy không tồn tại hai số \(x,y\) thỏa đề bài.

c) Vi \(x + \left( { - y} \right) = 2\sqrt 3 \) và \(x \cdot \left( { - y} \right) =  - 1\) nên \(x, - y\) là hai nghiệm của phương trình

\({t^2} - 2\sqrt 3 t - 1 = 0\)

Giải phương trình trên ta được các nghiệm \(t = 2 - \sqrt 3 ,t = 2 + \sqrt 3 \).

Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + \sqrt 3 }\\{ - y =  - 2 + \sqrt 3 }\end{array}{\rm{\;\;}}} \right.\)hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2 + \sqrt 3 }\\{ - y = 2 + \sqrt 3 }\end{array}} \right.\)

Vậy hai số \(x,y\) cần tìm là\(\left( {x;y} \right) = \left( {2 + \sqrt 3 ;2 - \sqrt 3 } \right),\left( {x;y} \right) = \left( { - 2 + \sqrt 3 ; - 2 - \sqrt 3 } \right)\).

d) Ta có:

\({x^2} + {y^2} = 34 \Leftrightarrow {(x + y)^2} - 2xy = 34 \Leftrightarrow {(x + y)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 2}\\{x + y =  - 2.}\end{array}} \right.\)

 Với \(x + y = 2\), ta được hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 2}\\{xy =  - 15{\rm{\;\;}}}\end{array}} \right.\)

Suy ra, \(x,y\) là hai nghiệm của phương trình \({t^2} - 2t - 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t =  - 3}\\{t = 5{\rm{\;}}{\rm{.\;}}}\end{array}} \right.\)

Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 3}\\{y = 5}\end{array}{\rm{\;}}} \right.\)hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{y =  - 3}\end{array}} \right.\)

 Với \(x + y =  - 2\), ta được hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y =  - 2}\\{xy =  - 15}\end{array}} \right.\)

Suy ra, \(x,y\) là hai nghiệm của phương trình \({t^2} + 2t - 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 3}\\{t =  - 5{\rm{\;\;}}}\end{array}} \right.\)

Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y =  - 5}\end{array}{\rm{\;}}} \right.\)hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 5}\\{y = 3}\end{array}} \right.\)

Vậy hai số \(x,y\) cần tìm là\(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( { - 3;5} \right),\left( {5; - 3} \right),\left( {3; - 5} \right);\left( { - 5;3} \right)} \right\}\).