Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn \(({\rm{O}})\). Biết rằng $\widehat{\text{BOC}}={120}^{°}$ và $\widehat{\text{OCA}}={20}^{°}$. Tính số đo các góc của tam giác ABC .

Đường tròn \[\left( {I;r} \right)\] tiếp xúc với các cạnh \[AB,AC,BC\] theo thứ tự \[M,N,P\]

Ta có: \[{S_{AIB}} = \frac{1}{2}IM.AB = \frac{1}{2}r.AB\,\left( 1 \right);\,{S_{AIC}} = \frac{1}{2}IN.AC = \frac{1}{2}r.AC\,\left( 2 \right);\,{S_{BIC}} = \frac{1}{2}r.BC\,\left( 3 \right)\]

Cộng \[\left( 1 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right)\] vế theo vế, ta được: \[\frac{{{S_{AIB}} + {S_{AIC}} + {S_{BIC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{1}{2}r.\left( {AB + AC + BC} \right)\]

Mà \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{6.8}}{2} = 24\left( {c{m^2}} \right)\] , \[BC = \sqrt {{6^2} + {8^2}}  = \sqrt {100}  = 10\left( {cm} \right)\]

Nên ta có: \[24 = \frac{1}{2}r\left( {6 + 8 + 10} \right) \Rightarrow r = 2\left( {cm} \right)\].

Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đều ABC thì O đồng thời cũng là trọng tâm và trực tâm của tam giác. Ta có \({\rm{OA}} = {\rm{OB}} = {\rm{OC}} = \frac{2}{3}{\rm{AH}}\) (H là chân đường cao kẻ từ A) (Xem hình vẽ).

Do đó O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC .

Mặt khác, xét tam giác AHB vuông tại H.

Theo định lí Pythagore, ta có:\({\rm{A}}{{\rm{B}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{H}}^2} + {\rm{H}}{{\rm{B}}^2} \Rightarrow {\rm{A}}{{\rm{H}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} - {\rm{H}}{{\rm{B}}^2} = {{\rm{a}}^2} - {\left( {\frac{{\rm{a}}}{2}} \right)^2}\)\( \Rightarrow {\rm{AH}} = \sqrt {{{\rm{a}}^2} - {{\left( {\frac{{\rm{a}}}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 9 }}{2}\)

\( \Rightarrow {\rm{AO}} = \frac{2}{3}{\rm{AH}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{{\rm{a}}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 3 }}{3}\)(Tính chất trọng tâm)

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm tam giác và có bán kính \(\frac{{{\rm{a}}\sqrt 3 }}{3}\).