Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC,CA,AB\). Chứng minh rằng các tứ giác \(ANOP,BPOM,CMON\) là các tứ giác nội tiếp.

a) Ta có $\widehat{\text{BAM}}+\widehat{\text{MAD}}=\widehat{\text{BAD}}={90}^{°}$ (1). Lại có \(Ax \bot Ay\) nên $\widehat{xAy}={90}^{°}$  $\text{ hay }\widehat{\text{MAD}}+\widehat{\text{DAN}}={90}^{°}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {{\rm{BAM}}} = \widehat {{\rm{DAN}}}\)nên hai tam giác vuông \(ABM\)và \(AND\)bằng nhau theo trường hợp g.c.g.

\( \Rightarrow {\rm{AM}} = {\rm{AN}}\)

b) Tam giác \(AMN\) vuông cân tại \(A\), có \(AO\) là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao hay \(AO \bot MN\) hay $\widehat{\text{AOM}}={90}^{°}$. Dễ thấy tứ giác \[ABMO\] có $\widehat{\text{ABM}}=\widehat{\text{AOM}}={90}^{°}$

$\Rightarrow \widehat{\text{ABM}}+\widehat{\text{AOM}}={180}^{°}$ nên \[ABMO\] là tứ giác nội tiếp.

Lại có $\widehat{\text{AON}}=\widehat{\text{ADN}}={90}^{°}$, chứng tỏ bốn điểm \(A,O,D,N\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(AN\) hay tứ giác \[ANDO\]nội tiếp.

c) Ta có tứ giác\[\;ABMO\] nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \widehat {{\rm{BOM}}} = \widehat {{\rm{BAM}}}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung ),\(\widehat {{\rm{BAM}}} = \widehat {{\rm{DAN}}}({\rm{cmt}})\). Lại có tứ giác \[ANDO\] nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \widehat {{\rm{DAN}}} = \widehat {{\rm{DON}}}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung)

\( \Rightarrow \widehat {{\rm{BOM}}} = \widehat {{\rm{DON}}}\), mà ba điểm \(M,O,N\) thẳng hàng (gt)\( \Rightarrow B,D,O\)thẳng hàng.

Trường hợp 1: D nằm trên cung lớn .

Ta có \(\widehat {{\rm{SCM}}} = \widehat {{\rm{SDM}}}\) (1) góc nội tiếp cùng chắn cung  của đường tròn đường kính \(MC\)).

Dễ thấy $\widehat{MDC}={90}^{°}$ (MC là đường kính). Tương tự  $\widehat{BAC}={90}^{°}$ (gt).

\( \Rightarrow \) Bốn điểm \(B,A,D,C\) cùng nằm trên một đường tròn đường kính \(BC\).

\( \Rightarrow \widehat {SDM} = \widehat {ACB}\) (2) (góc nội tiếp cùng chắn cung  ).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {SCM} = \widehat {MCB}\) hay \(CA\) là tia phân giác của góc\(SCB\).

Trường hợp 2: D nằm trên cung nhỏ  và Trường hợp \(3:{\rm{D}}\) trùng với S. (Học sinh tự giải).