Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng các tứ giác $ANOP,BPOM,CMON$ là các tứ giác nội tiếp.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 15 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Ôn tập chương 9 có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn \(\le (ảnh 1)$

Ta có $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$ nên $OM,ON,OP$ lần lượt là các trung tuyến của các tam giác cân \[BOC,COA{\rm{ }}v\`a {\rm{ }}AOB{\rm{ }}.\]

Do đó chúng đồng thời là các đường cao của các tam giác cân nêu trên.

Dễ dàng ta có $\hat{A N O} = \hat{A P O} = 90^{°} \Rightarrow \hat{A N O} + \hat{A P O} = 180^{°}$

Do đó tứ giác $ANOP$nội tiếp. Chứng minh tương tự ta có \[BPOM{\rm{ }}v\`a {\rm{ }}CMON\]nội tiếp.

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh bằng$a$. Góc vuông \[xAy\] thay đổi sao cho tia $Ax$ cắt đoạn thẳng $BC$ tại $M$ và tia $Ay$ cắt đoạn thẳng $CD$ kéo dài tại $N$.

a) Chứng minh hai tam giác \[ABM{\rm{ }}v\`a {\rm{ }}AND\] bằng nhau;

b) Gọi $O$ là trung điểm của $MN$. Chứng minh \[ABMO{\rm{ }}v\`a {\rm{ }}ANDO\]là các tứ giác nội tiếp;

c) Chứng minh ba điểm $B,D,O$ thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh (ảnh 1)$

a) Ta có $\hat{BAM} + \hat{MAD} = \hat{BAD} = 90^{°}$ (1). Lại có $Ax \bot Ay$ nên $\hat{x A y} = 90^{°}$ $hay \hat{MAD} + \hat{DAN} = 90^{°} (2)$

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow \widehat {{\rm{BAM}}} = \widehat {{\rm{DAN}}}$nên hai tam giác vuông $ABM$và $AND$bằng nhau theo trường hợp g.c.g.

$ \Rightarrow {\rm{AM}} = {\rm{AN}}$

b) Tam giác $AMN$ vuông cân tại $A$, có $AO$ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao hay $AO \bot MN$ hay $\hat{AOM} = 90^{°}$ . Dễ thấy tứ giác \[ABMO\] có $\hat{ABM} = \hat{AOM} = 90^{°}$

$\Rightarrow \hat{ABM} + \hat{AOM} = 180^{°}$ nên \[ABMO\] là tứ giác nội tiếp.

Lại có $\hat{AON} = \hat{ADN} = 90^{°}$ , chứng tỏ bốn điểm $A,O,D,N$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $AN$ hay tứ giác \[ANDO\]nội tiếp.

c) Ta có tứ giác\[\;ABMO\] nội tiếp (cmt) $ \Rightarrow \widehat {{\rm{BOM}}} = \widehat {{\rm{BAM}}}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung ),$\widehat {{\rm{BAM}}} = \widehat {{\rm{DAN}}}({\rm{cmt}})$. Lại có tứ giác \[ANDO\] nội tiếp (cmt) $ \Rightarrow \widehat {{\rm{DAN}}} = \widehat {{\rm{DON}}}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung)

$ \Rightarrow \widehat {{\rm{BOM}}} = \widehat {{\rm{DON}}}$, mà ba điểm $M,O,N$ thẳng hàng (gt)$ \Rightarrow B,D,O$thẳng hàng.

Câu 2

Cho tam giác nhọn $ABC$ có đường cao $AH\left( {H \in BC} \right)$ và nội tiếp đường tròn tâm $O$ có đường kính $AM$(Hình vẽ). Chứng minh $\widehat {OAC} = \widehat {BAH}$

Xem đáp án

Lời giải

$Cho tam giác nhọn $ABC$ có đư (ảnh 1)$

Dễ thấy $\hat{ACM} = 90^{°}$ (vì $AM$ là đường kính). Tam giác $ACM$ vuông tại $C \Rightarrow \hat{O A C} + \hat{A M C} = 90^{°}$

Lại có tam giác $AHB$ vuông tại $H$ (gt) $\Rightarrow \hat{BAH} + \hat{ABC} = 90^{°}$

Mà $\widehat {{\rm{AMC}}} = \widehat {{\rm{ABC}}}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung)$ \Rightarrow \widehat {{\rm{OAC}}} = \widehat {{\rm{BAH}}}$.

Câu 3