Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng các tứ giác $ANOP,BPOM,CMON$ là các tứ giác nội tiếp.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập cuối chương 9 lớp 9 (có lời giải) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn \(\le (ảnh 1)$

Ta có $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$ nên $OM,ON,OP$ lần lượt là các trung tuyến của các tam giác cân \[BOC,COA{\rm{ }}v\`a {\rm{ }}AOB{\rm{ }}.\]

Do đó chúng đồng thời là các đường cao của các tam giác cân nêu trên.

Dễ dàng ta có $\hat{A N O} = \hat{A P O} = 90^{°} \Rightarrow \hat{A N O} + \hat{A P O} = 180^{°}$

Do đó tứ giác $ANOP$nội tiếp. Chứng minh tương tự ta có \[BPOM{\rm{ }}v\`a {\rm{ }}CMON\]nội tiếp.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh bằng$a$. Góc vuông \[xAy\] thay đổi sao cho tia $Ax$ cắt đoạn thẳng $BC$ tại $M$ và tia $Ay$ cắt đoạn thẳng $CD$ kéo dài tại $N$.

a) Chứng minh hai tam giác \[ABM{\rm{ }}v\`a {\rm{ }}AND\] bằng nhau;

b) Gọi $O$ là trung điểm của $MN$. Chứng minh \[ABMO{\rm{ }}v\`a {\rm{ }}ANDO\]là các tứ giác nội tiếp;

c) Chứng minh ba điểm $B,D,O$ thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh (ảnh 1)$

a) Ta có $\hat{BAM} + \hat{MAD} = \hat{BAD} = 90^{°}$ (1). Lại có $Ax \bot Ay$ nên $\hat{x A y} = 90^{°}$ $hay \hat{MAD} + \hat{DAN} = 90^{°} (2)$

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow \widehat {{\rm{BAM}}} = \widehat {{\rm{DAN}}}$nên hai tam giác vuông $ABM$và $AND$bằng nhau theo trường hợp g.c.g.

$ \Rightarrow {\rm{AM}} = {\rm{AN}}$

b) Tam giác $AMN$ vuông cân tại $A$, có $AO$ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao hay $AO \bot MN$ hay $\hat{AOM} = 90^{°}$ . Dễ thấy tứ giác \[ABMO\] có $\hat{ABM} = \hat{AOM} = 90^{°}$

$\Rightarrow \hat{ABM} + \hat{AOM} = 180^{°}$ nên \[ABMO\] là tứ giác nội tiếp.

Lại có $\hat{AON} = \hat{ADN} = 90^{°}$ , chứng tỏ bốn điểm $A,O,D,N$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $AN$ hay tứ giác \[ANDO\]nội tiếp.

c) Ta có tứ giác\[\;ABMO\] nội tiếp (cmt) $ \Rightarrow \widehat {{\rm{BOM}}} = \widehat {{\rm{BAM}}}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung ),$\widehat {{\rm{BAM}}} = \widehat {{\rm{DAN}}}({\rm{cmt}})$. Lại có tứ giác \[ANDO\] nội tiếp (cmt) $ \Rightarrow \widehat {{\rm{DAN}}} = \widehat {{\rm{DON}}}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung)

$ \Rightarrow \widehat {{\rm{BOM}}} = \widehat {{\rm{DON}}}$, mà ba điểm $M,O,N$ thẳng hàng (gt)$ \Rightarrow B,D,O$thẳng hàng.

Câu 2

Cho tam giác $ABC$ có các đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $I$ là trung điểm của $AH$. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác \[AEHF\] nội tiếp đường tròn tâm $I$;

b) \[ME,{\rm{ }}MF\]tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác \[AEHF\].

Xem đáp án

Lời giải

$Cho tam giác $ABC$ có các đư (ảnh 1)$

a) Dễ thấy $\hat{AEH} = \hat{AFH} = 90^{°}$ (gt).

Tứ giác \[AEHF\] có $\hat{A E H} + \hat{A F H} = 180^{°}$ (gt) nên nội tiếp đường tròn tâm $I$.

b) Ta có tam giác $BEC$ vuông tại $E$ (gt), $EM$ là trung tuyến

$ \Rightarrow EM = BM = CM$ hay cân tại M \[ \Rightarrow \widehat {{B_2}} = \widehat {{E_2}}\]

Lại có $H,E$ thuộc đường tròn tâm $I$ nên cân tại I $ \Rightarrow \widehat {{H_2}} = \widehat {{E_1}}$ mà $\widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}}$ (đối đỉnh) $ \Rightarrow \widehat {{E_1}} = \widehat {{H_2}}$

Gọi K là chân đường cao kẻ từ A đến BC, ta có tam giác BKH vuông tại K

$\Rightarrow \hat{B_{2}} + \hat{H_{2}} = 90^{°} m à \hat{B_{2}} = \hat{E_{2}}, \hat{H_{2}} = \hat{E_{1}} (c m t) \Rightarrow \hat{E_{2}} + \hat{E_{1}} = 90^{°} h a y \hat{I E M} = 90^{°} \Rightarrow M E ⊥ I E$

Chứng tỏ $ME$ tiếp xúc với đường tròn $\left( I \right)$ngoại tiếp tứ giác \[AEHF\].

Chứng minh tương tự ta có $MF$ tiếp xúc với $\left( I \right)$.

Câu 3