Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Trên \(AC\) lấy một điểm \(M\) và dựng đường tròn đường kính \(MC\). Nối \(BM\) kéo dài gặp đường tròn tại \(D\). Đường thẳng \(DA\) gặp đường tròn tại \(S\). Chứng minh rằng \(CA\) là tia phân giác của góc \(\widehat {SCB}\).

a) Ta có $\widehat{\text{BAM}}+\widehat{\text{MAD}}=\widehat{\text{BAD}}={90}^{°}$ (1). Lại có \(Ax \bot Ay\) nên $\widehat{xAy}={90}^{°}$  $\text{ hay }\widehat{\text{MAD}}+\widehat{\text{DAN}}={90}^{°}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {{\rm{BAM}}} = \widehat {{\rm{DAN}}}\)nên hai tam giác vuông \(ABM\)và \(AND\)bằng nhau theo trường hợp g.c.g.

\( \Rightarrow {\rm{AM}} = {\rm{AN}}\)

b) Tam giác \(AMN\) vuông cân tại \(A\), có \(AO\) là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao hay \(AO \bot MN\) hay $\widehat{\text{AOM}}={90}^{°}$. Dễ thấy tứ giác \[ABMO\] có $\widehat{\text{ABM}}=\widehat{\text{AOM}}={90}^{°}$

$\Rightarrow \widehat{\text{ABM}}+\widehat{\text{AOM}}={180}^{°}$ nên \[ABMO\] là tứ giác nội tiếp.

Lại có $\widehat{\text{AON}}=\widehat{\text{ADN}}={90}^{°}$, chứng tỏ bốn điểm \(A,O,D,N\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(AN\) hay tứ giác \[ANDO\]nội tiếp.

c) Ta có tứ giác\[\;ABMO\] nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \widehat {{\rm{BOM}}} = \widehat {{\rm{BAM}}}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung ),\(\widehat {{\rm{BAM}}} = \widehat {{\rm{DAN}}}({\rm{cmt}})\). Lại có tứ giác \[ANDO\] nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \widehat {{\rm{DAN}}} = \widehat {{\rm{DON}}}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung)

\( \Rightarrow \widehat {{\rm{BOM}}} = \widehat {{\rm{DON}}}\), mà ba điểm \(M,O,N\) thẳng hàng (gt)\( \Rightarrow B,D,O\)thẳng hàng.

a) Ta có \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{ADC}}}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung ). Lại có $\widehat{\text{ACD}}={90}^{°}$ ( \(AD\) là đường kính)

Do đó $△AHB\backsim △ACD$ (g.g)

b) $△AHB\backsim △ACD$  \( \Rightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{AD}} = \frac{{AB.AC}}{{2R}}\)

Do đó \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}\frac{{AB.AC}}{{2R}}.BC = \frac{{AB.AC.BC}}{{4R}} = \frac{{abc}}{{4R}}\).