Cho tam giác vuông \(OAB\) có cạnh \(OA = a\) nằm trên tục \(Ox\) và \(\widehat {AOB} = \alpha \left( {0 < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)\). Gọi \[\beta \] là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác \(OAB\) xung quanh trục \(Ox\).
a) Khi \(\alpha = \frac{\pi }{4}\) thì \[OB = x\].
Đúng
Sai
b) Khi \(\alpha = \frac{\pi }{6}\) thì thể tích \(V\) của khối \[\beta \] là \[\frac{{\pi {a^3}}}{9}\] (đvtt).
Đúng
Sai
c) Khi thể tích \(V\) của khối \[\beta \] là \(\frac{{4\pi {a^3}}}{3}\) thì giá trị \(\cos \alpha < \frac{1}{2}\).
Đúng
Sai
d) Khi \(\tan \alpha = \cot \alpha \) thì thể tích \(V\) của khối \[\beta \] là \[\frac{{\pi {a^3}}}{3}\].
Đúng
Sai
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Tích phân (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
|
a) Đ |
b) Đ |
c) Đ |
d) Đ |
a) Đúng.
Do \(OB\) đi qua gốc tọa độ và tạo với \(Ox\) một góc \(\frac{\pi }{4}\) nên \(OB:y = \tan \frac{\pi }{4}x = x\).
b) Đúng.
Do \(OB\) đi qua gốc tọa độ và tạo với \(Ox\) một góc \(\frac{\pi }{6}\) nên \(OB:y = \tan \frac{\pi }{6}x = \frac{x}{{\sqrt 3 }}\).
Khi đó, thể tích của khối \(\beta \) theo \[V = \pi \int\limits_0^a {{{\left( {\frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^a {\frac{{{x^2}}}{3}{\rm{d}}x} = \left. {\frac{{\pi {x^3}}}{9}} \right|_0^a = \frac{{\pi {a^3}}}{9}\] (đvtt).
c) Đúng.
Do \(OB\) đi qua gốc tọa độ và tạo với \(Ox\) một góc \(\alpha \) nên \(OB:y = \tan \alpha .x\).
Khi đó, thể tích của khối \(\beta \) theo \(V = \pi \int\limits_0^a {{{\left( {\tan \alpha .x} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \left. {\frac{{\pi {{\tan }^2}\alpha .{x^3}}}{3}} \right|_0^a = \frac{{\pi {{\tan }^2}\alpha .{a^3}}}{3}\) (đvtt).
Do \(V = \frac{{4\pi {a^3}}}{3} \Leftrightarrow \frac{{\pi {{\tan }^2}\alpha .{a^3}}}{3} = \frac{{4\pi {a^3}}}{3} \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha = 4 \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha + 1 = 5 \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{ \pm 1}}{{\sqrt 5 }}\).
Mặt khác \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).
d) Đúng.
Ta có: Do \(OB\) đi qua gốc tọa độ và tạo với \(Ox\) một góc \(\alpha \) nên \(OB:y = \tan \alpha .x\).
Khi đó, thể tích của khối \(\beta \) theo \(V = \pi \int\limits_0^a {{{\left( {\tan \alpha .x} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \left. {\frac{{\pi {{\tan }^2}\alpha .{x^3}}}{3}} \right|_0^a = \frac{{\pi {{\tan }^2}\alpha .{a^3}}}{3}\) (đvtt).
Do \[\tan \alpha = \cot \alpha \Rightarrow {\tan ^2}\alpha = \cot \alpha .\tan \alpha = 1 \Leftrightarrow \tan \alpha = \pm 1\].
Mặt khác \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\tan \alpha = 1\) \( \Rightarrow V = \frac{{\pi {{\tan }^2}\alpha .{a^3}}}{3} = \frac{{\pi .{a^3}}}{3}\) (đvtt).Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
![Một vật chuyển động trong \(4\)giờ với vận tốc .\[\]. phụ thuộc vào thời gian (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/01/blobid39-1769864005.png)
Lời giải
Trong khoảng 1 giờ đầu, ta gọi phương trình vận tốc của vật là \(v(t) = a{t^2} + bt + c(a \ne 0)\)
Theo bài ra ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}v(0) = 4\\v(2) = 10\\{x_I} = - \frac{b}{{2a}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 4\\4a + 2b + c = 10\\4a + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{3}{2}\\b = 6\\c = 4\end{array} \right.\)
Khi đó:\(v(t) = - \frac{3}{2}{x^2} + 6x + 4\).
=>\(v(1) = \frac{{17}}{2};v(4) = 4\).
Trong 3 giờ sau, gọi phương trình vận tốc \(v(t) = mx + n\).
Theo giả thiết ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}v(1) = m + n = \frac{{17}}{2}\\v(4) = 4m + n = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \frac{3}{2}\\n = 10\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow v(t) = - \frac{3}{2}x + 10\).
Quãng đường vật đi trong 4 giờ:
\(S = \int\limits_0^1 {( - \frac{3}{2}{t^2} + 6x + 4)dt + \int\limits_1^4 {( - \frac{3}{2}t + 10)dt = 25,3} } km\).
Lời giải
Đặt tọa độ như hình vẽ, ta có parabol cần tìm đi qua \(3\) điểm có toạn độ lần lượt là \(A\left( {0;6} \right),B\left( {1;3} \right),C\left( {3;0} \right)\) nên có phương trình là \(y = \frac{1}{2}{x^2} - \frac{7}{2}x + 6\)
Theo hình vẽ ta có bán kính của bát giác là \(BM\).
Suy ra: \(2y = {x^2} - 7x + 12 \Rightarrow {\left( {x - \frac{7}{2}} \right)^2} = 2y + \frac{1}{4} \Rightarrow |x - \frac{7}{2}| = \sqrt {2y + \frac{1}{4}} \)
Mà \(x \in \left[ {0;3} \right] \Rightarrow \frac{7}{2} - x = \sqrt {2y + \frac{1}{4}} \)
Nếu ta đặt \(t = OM\)thì \(BM = \frac{7}{2} - \sqrt {2t + \frac{1}{4}} \)
Khi đó diện tích của thiết diện thiết diện lục giác:
\[S(t) = 6.\frac{{B{M^2}.\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.{(\frac{7}{2} - \sqrt {2t + \frac{1}{4}} )^2}\] với \(t \in [0;6]\)
Vậy thể tích của mái chòi theo đề bài là:
\[V = \int\limits_0^6 {S(t)dt} = \int\limits_0^6 {\frac{{3\sqrt 3 }}{2}.{{(\frac{7}{2} - \sqrt {2t + \frac{1}{4}} )}^2}dt} = 29,2{m^3}\]Câu 3
a)Diện tích đáy tòa nhà \({S_{ABCD}} = 1000\left( {{m^2}} \right).\)
Đúng
Sai
b)Diện tích thiết diện hình vuông chính giữa (nhận O là tâm) bằng \(200\left( {{m^2}} \right).\)
Đúng
Sai
c)Diện tích thiết diện \(ACPM\) bằng \(1200\left( {{m^2}} \right).\)
Đúng
Sai
d)Thể tích tòa nhà là \[31295\,\,\left( {{m^3}} \right)\].
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập