Gia đình ông An xây một cái chòi hình lục giác, trong đó mái chòi \(\left( H \right)\) có dạng hình “chóp lục giác cong đều” có trần bằng gỗ như hình vẽ bên. Đáy của \(\left( H \right)\) là một hình lục giác đều có đường chéo chính là \(6m\) Chiều cao \(SO = 6m\) (\(SO\) vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của \(\left( H \right)\) là các sợi dây thép \[{c_1};{c_2};{c_3};{c_4};{c_5};{c_6};{c_7};{c_8}\] nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với \(SO\). Giả sử giao tuyến (nếu có) của \(\left( H \right)\) với mặt phẳng \((\alpha )\) vuông góc với \(SO\) là một lục giác đều và khi \((\alpha )\) khi qua trung điểm của \(SO\) thì bát giác đều có cạnh \(1m\). Tính thể tích phần không gian nằm bên trong mái chòi \(\left( H \right)\) đó.

Trong khoảng 1 giờ đầu, ta gọi phương trình vận tốc của vật là \(v(t) = a{t^2} + bt + c(a \ne 0)\)

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}v(0) = 4\\v(2) = 10\\{x_I} =  - \frac{b}{{2a}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 4\\4a + 2b + c = 10\\4a + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{3}{2}\\b = 6\\c = 4\end{array} \right.\)

Khi đó:\(v(t) =  - \frac{3}{2}{x^2} + 6x + 4\).

=>\(v(1) = \frac{{17}}{2};v(4) = 4\).

Trong 3 giờ sau, gọi phương trình vận tốc \(v(t) = mx + n\).

Theo giả thiết ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}v(1) = m + n = \frac{{17}}{2}\\v(4) = 4m + n = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - \frac{3}{2}\\n = 10\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow v(t) =  - \frac{3}{2}x + 10\).

Quãng đường vật đi trong 4 giờ:

\(S = \int\limits_0^1 {( - \frac{3}{2}{t^2} + 6x + 4)dt + \int\limits_1^4 {( - \frac{3}{2}t + 10)dt = 25,3} } km\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \[d\] và \((P)\) là

\({x^2} - 5x + 4 = x + m \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 4 - m = 0,\left( 1 \right)\)

\[d\] và \((P)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' = 9 - 4 + m = m + 5 > 0 \Leftrightarrow m >  - 5\)

Theo Viét: \[{{\rm{x}}_1} + {x_2} = 6;{x_1}{x_2} = 4 - m\]

Ta có \[S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {m - {x^2} + 6x - 4} \right)} {\rm{d}}x = \left. {\left( {\left( {m - 4} \right)x + 3{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}\]

\[ = \left( {\left( {m - 4} \right) + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - \frac{1}{3}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right]} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right) = \frac{4}{3}\sqrt {{{\left( {m + 5} \right)}^3}}  = \frac{4}{3}\]\( \Leftrightarrow m =  - 4\)