Cho phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 1\) và \(x = \sqrt 7 \), biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục \[Ox\] tại điểm có hoành độ \(x\) (\(1 \le x \le \sqrt 7 \)) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là \(2x\) và \(\sqrt {{x^2} + 1} \). Thể tích của phần vật thể đã cho bằng \(\frac{{a\sqrt b }}{c}(c\) là số nguyên tố, \(b < 6;\,a,b,c \in \mathbb{N})\). Tính \(a.b.c\)?

Một vật chuyển động trong \(4\)giờ với vận tốc .\[\]. phụ thuộc vào thời gian \(t(h)\)có đồ thị vận tốc như hình vẽ bên.Trong khoảng thời gian \(1\) giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh \(I(2;10)\) và trục đối xứng song song với trục tung. Khoảng thời gian còn lại vật chuyển động chậm dần đều. Tính quãng đường \(S\) mà vật đi được trong \(4\)giờ đó.

Gia đình ông An xây một cái chòi hình lục giác, trong đó mái chòi \(\left( H \right)\) có dạng hình “chóp lục giác cong đều” có trần bằng gỗ như hình vẽ bên. Đáy của \(\left( H \right)\) là một hình lục giác đều có đường chéo chính là \(6m\) Chiều cao \(SO = 6m\) (\(SO\) vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của \(\left( H \right)\) là các sợi dây thép \[{c_1};{c_2};{c_3};{c_4};{c_5};{c_6};{c_7};{c_8}\] nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với \(SO\). Giả sử giao tuyến (nếu có) của \(\left( H \right)\) với mặt phẳng \((\alpha )\) vuông góc với \(SO\) là một lục giác đều và khi \((\alpha )\) khi qua trung điểm của \(SO\) thì bát giác đều có cạnh \(1m\). Tính thể tích phần không gian nằm bên trong mái chòi \(\left( H \right)\) đó.

Một tòa nhà có kiến cấu như hình bên dưới. Biết rằng chiều cao tòa nhà là \(48\) \(\left( {\rm{m}} \right)\). Cắt ngôi nhà bởi một mặt phẳng song song với mặt đất thì được thiết diện là các hình vuông. Khi cắt mô hình này bởi các mặt phẳng vuông góc với đáy của nó và đi qua đường chéo hình vuông hai đáy ta được thiết diện là một hình đối xứng \(ACPM\) (\(AM,CP\)là hai cung tròn). Gọi \(O\) là tâm thiết diện hình vuông chính giữa tòa nhà như hình vẽ, \(OP\)là tiếp tuyến của cung tròn \(CP\). Biết \(OP = 30(m)\). Các khẳng định sau đây đúng hay sai?

Cho tam giác vuông \(OAB\) có cạnh \(OA = a\) nằm trên tục \(Ox\) và \(\widehat {AOB} = \alpha \left( {0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)\). Gọi \[\beta \] là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác \(OAB\) xung quanh trục \(Ox\).

Biết \(f(x)\) là hàm số liên tục trên \(R\) và \(\int\limits_0^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 4} \), \(\int\limits_2^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x =  - 3} \). Khi đó

\(\int\limits_0^2 {\left[ {f\left( v \right) - 3} \right]{\rm{dv}}} \) bằng.