Một chiếc lều mái vòm có hình dạng như hình bên. Nếu cắt lều bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng \(x\) (mét) (\(0 \le x \le 3\)) thì được hình chữ nhật có các kích thước lần lượt là \(x\) và \(\sqrt {9 - {x^2}} \). Tính thể tích cái lều (đơn vị m3).

Diện tích đáy của hình trụ là: \({\rm{S}} = \pi {x^2}\)

Dung tích nước trong chậu bằng nửa thể tích của chậu nên ta có phương trình

\(\pi \int\limits_0^x {(10 + } \sqrt x {)^2}dx = \frac{1}{2}\pi \int\limits_0^{16} {(10 + } \sqrt x {)^2}dx \Leftrightarrow \pi \left. {\left( {100x + \frac{{40}}{3}x\sqrt x  + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^x = \frac{1}{2}\pi \left. {\left( {100x + \frac{{40}}{3}x\sqrt x  + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{16}\)

\( \Leftrightarrow 100x + \frac{{40}}{3}x\sqrt x  + \frac{{{x^2}}}{2} = \frac{{3872}}{3}\)

Đặt t =\(\sqrt x \)(t>0)

Ta được phương trình \(100{t^2} + \frac{{40}}{3}{t^3} + \frac{{{t^4}}}{2} = \frac{{3872}}{3}\). Đặt \(f(t) = 100{t^2} + \frac{{40}}{3}{t^3} + \frac{{{t^4}}}{2}\)

\(f'(t) = 200t + 40{t^2} + 2{t^3} > 0\,\,\,(\forall t > 0)\)nên \(f(t)\) đồng biến trên \((0; + \infty )\)

Do đó phương trình trên có nghiệm duy nhất t \( \approx 2,990279433\)