Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hình phẳng \(D\) là hình thang \(OABC\) có \(A\left( {0;2} \right),B\left( {3;3} \right),C\left( {3;0}
\right)\). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang \(OABC\)quanh trục \[Ox\]bằng
A. \(19\).
B. \(19\pi \).
C. \(\frac{{15\pi }}{2}\).
D. \(\frac{{15}}{2}\).
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Ứng dụng hình học của tích phân (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn B
Có \[\overrightarrow {AB} = \left( {3;1} \right)\]nên vtpt của đường thẳng \(AB\)là \(\overrightarrow n = \left( { - 1;3} \right)\)
Phương trình đường thẳng \(AB\)qua \(A\), vtpt \(\overrightarrow n \) có dạng
\( - 1\left( {x - 0} \right) + 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + 3y - 6 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{x}{3} + 2\)
Khi đó \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{1}{3}x + 2\\y = 0\\x = 0;x = 3\end{array} \right.\)
Quay \(D\) quanh trục \[Ox\] tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng
\[V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {\frac{x}{3} + 2} \right)}^2}dx = \pi \int\limits_0^3 {\left( {\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{4}{3}x + 4} \right)} } dx = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{{27}} + \frac{{2{x^2}}}{3} + 4x} \right)} \right|_0^3 = 19\pi \].Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Diện tích đáy của hình trụ là: \({\rm{S}} = \pi {x^2}\)
Dung tích của lu nước là: \(V = \pi \int\limits_0^9 \pi {x^2}dx = 243{\pi ^2}\)\(\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Lời giải
Dung tích nước trong chậu bằng nửa thể tích của chậu nên ta có phương trình
\(\pi \int\limits_0^x {(10 + } \sqrt x {)^2}dx = \frac{1}{2}\pi \int\limits_0^{16} {(10 + } \sqrt x {)^2}dx \Leftrightarrow \pi \left. {\left( {100x + \frac{{40}}{3}x\sqrt x + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^x = \frac{1}{2}\pi \left. {\left( {100x + \frac{{40}}{3}x\sqrt x + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{16}\)
\( \Leftrightarrow 100x + \frac{{40}}{3}x\sqrt x + \frac{{{x^2}}}{2} = \frac{{3872}}{3}\)
Đặt t =\(\sqrt x \)(t>0)
Ta được phương trình \(100{t^2} + \frac{{40}}{3}{t^3} + \frac{{{t^4}}}{2} = \frac{{3872}}{3}\). Đặt \(f(t) = 100{t^2} + \frac{{40}}{3}{t^3} + \frac{{{t^4}}}{2}\)
\(f'(t) = 200t + 40{t^2} + 2{t^3} > 0\,\,\,(\forall t > 0)\)nên \(f(t)\) đồng biến trên \((0; + \infty )\)
Do đó phương trình trên có nghiệm duy nhất t \( \approx 2,990279433\)
Vậy \(x = {t^2} \approx 8,94\)(cm)Câu 3
a) Diện tích hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( C \right)\), trục tung, trục hoành là \(\frac{3}{2} - 2\ln 2.\)
Đúng
Sai
b) Diện tích hình phẳng \(H\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( C \right)\), đường thẳng \(d\), \(x = 1\,,\,\,x = 2\) là \(\frac{5}{2} + 2\ln \frac{3}{2}\).
Đúng
Sai
c) Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(D\) quanh trục \(Ox\) là \[\left( {\frac{{20}}{3} - 12\ln 2} \right)\pi \].
Đúng
Sai
d) Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(H\) quanh trục \(Ox\) là \[\left( {12\ln \frac{3}{2} - 1} \right)\pi .\]
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
a) Diện tích hình học phẳng được giới hạn bới hàm số đã cho, trục hoành, \(x = - 1\)và \(x = 1\) là \(\frac{{{e^2} - 1}}{e}\).
Đúng
Sai
b) Với \(a = \ln 4\) thì diện tích hình học phẳng được giới hạn bới hàm số đã cho, các trục tọa độ và đường thẳng \(x = a\) bằng \(3\).
Đúng
Sai
c) Cho hình phẳng \[D\] giới hạn bởi đường cong \[y = {e^x},\] trục hoành và các đường thẳng \[x = 0,\]\[x = 1.\] Khối tròn xoay tạo thành khi quay \[D\] quanh trục hoành có thể tích \(V\) bằng \[V = 2\pi \left( {{e^2} - 1} \right)\].
Đúng
Sai
d) Gọi \(d\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\)đã cho tại điểm \({x_0} = 0\). Diện tích hình học phẳng được giới hạn bởi đường thẳng \(d\), trục hoành , \(x = - 1\) và \(x = 1\) là \(2\).
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \[10 + \frac{3}{{\ln 2}}\].
B. \[10 - \frac{3}{{\ln 2}}\].
C. \[10 - \frac{4}{{\ln 2}}\].
D. \[10 + \frac{4}{{\ln 2}}\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập