Một cái lu đựng nước có dạng hình trụ như hình vẽ. Biết rằng khi lượng nước trong lu là x (dm) \(\left( {0 < x \le 9} \right)\)thì mặt nước lf hình tròn có bán kính là \(x\left( {dm} \right)\). Hãy tính dung tích của cái lu nước trên

Dung tích nước trong chậu bằng nửa thể tích của chậu nên ta có phương trình

\(\pi \int\limits_0^x {(10 + } \sqrt x {)^2}dx = \frac{1}{2}\pi \int\limits_0^{16} {(10 + } \sqrt x {)^2}dx \Leftrightarrow \pi \left. {\left( {100x + \frac{{40}}{3}x\sqrt x  + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^x = \frac{1}{2}\pi \left. {\left( {100x + \frac{{40}}{3}x\sqrt x  + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{16}\)

\( \Leftrightarrow 100x + \frac{{40}}{3}x\sqrt x  + \frac{{{x^2}}}{2} = \frac{{3872}}{3}\)

Đặt t =\(\sqrt x \)(t>0)

Ta được phương trình \(100{t^2} + \frac{{40}}{3}{t^3} + \frac{{{t^4}}}{2} = \frac{{3872}}{3}\). Đặt \(f(t) = 100{t^2} + \frac{{40}}{3}{t^3} + \frac{{{t^4}}}{2}\)

\(f'(t) = 200t + 40{t^2} + 2{t^3} > 0\,\,\,(\forall t > 0)\)nên \(f(t)\) đồng biến trên \((0; + \infty )\)

Do đó phương trình trên có nghiệm duy nhất t \( \approx 2,990279433\)

a) Đúng.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = \frac{{{x^2} - x}}{{x + 1}}\) và trục hoành

\(\,\,\frac{{{x^2} - x}}{{x + 1}} = 0\,\,,x \ne  - 1\,\,\, \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( C \right)\), trục tung, trục hoành  là

\({S_1} = \int\limits_0^1 {\left| {\frac{{{x^2} - x}}{{x + 1}}} \right|} \,{\rm{d}}x = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {x - 2 + \frac{2}{{x + 1}}} \right)} \,{\rm{d}}x} \right| = \left| {\left. {\left( {\frac{1}{2}{x^2} - 2x + 2\ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1} \right| = \frac{3}{2} - 2\ln 2\)(đvdt).

b) Sai.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = \frac{{{x^2} - x}}{{x + 1}}\) và đường thẳng \(d\): \(\frac{{{x^2} - x}}{{x + 1}} = 2\,\,,x \ne  - 1\,\,\,\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - x = 2\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2} \notin \left[ {1;2} \right]\\x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2} \notin \left[ {1;2} \right]\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng \(H\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( C \right)\), đường thẳng \(d:y = 2\) \(x = 1\,,\,\,x = 2\) là

\({S_2} = \int\limits_1^2 {\left| {\frac{{{x^2} - x}}{{x + 1}} - 2} \right|} \,{\rm{d}}x = \left| {\int\limits_1^2 {\left( {x - 4 + \frac{2}{{x + 1}}} \right)} \,{\rm{d}}x} \right| = \left| {\left. {\left( {\frac{1}{2}{x^2} - 4x + 2\ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_1^2} \right| = \frac{5}{2} - 2\ln \frac{3}{2}\) (đvdt).

c) Sai.

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( C \right)\), trục tung, trục hoành  khi quay quanh trục \(Ox\) là

\[{V_1} = \pi {\int\limits_0^1 {\left( {\frac{{{x^2} - x}}{{x + 1}}} \right)} ^2}{\rm{d}}x = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {x - 2 + \frac{2}{{x + 1}}} \right)}^2}} {\rm{d}}x = \pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 4x + 8 - \frac{{12}}{{x + 1}} + \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right)} \,{\rm{d}}x\]

\[ = \pi \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 8x - 12\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{4}{{x + 1}}} \right)} \right|_0^1 = \left( {\frac{{25}}{3} - 12\ln 2} \right)\pi \](đvdt).

d) Đúng.

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(H\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( C \right)\), đường thẳng \(d\), \(x = 0\,,\,\,x = 2\) khi quay quanh trục \(Ox\) là

\[\begin{array}{l}{V_2} = \pi \int\limits_1^2 {{2^2}{\rm{d}}x - } \pi {\int\limits_1^2 {\left( {\frac{{{x^2} - x}}{{x + 1}}} \right)} ^2}{\rm{d}}x\\ = 4\pi  - \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {x - 2 + \frac{2}{{x + 1}}} \right)}^2}} {\rm{d}}x = 4\pi  - \pi \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 4x + 8 - \frac{{12}}{{x + 1}} + \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right)\,} {\rm{d}}x\end{array}\]

\[ = 4\pi  - \pi \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 8x - 12\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{4}{{x + 1}}} \right)} \right|_1^2\]