Nếu cắt chậu nước có hình dạng như hình bên bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy \(x\)(cm)(\(0 \le x \le 16\)) thì mặt cắt là hình tròn có bán kính (10+\(\sqrt x \))(cm). Tìm \(x\)(đơn vị cm, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) để dung tích nước trong chậu bằng nửa thể tích của chậu?

Dung tích nước trong chậu bằng nửa thể tích của chậu nên ta có phương trình

\(\pi \int\limits_0^x {(10 + } \sqrt x {)^2}dx = \frac{1}{2}\pi \int\limits_0^{16} {(10 + } \sqrt x {)^2}dx \Leftrightarrow \pi \left. {\left( {100x + \frac{{40}}{3}x\sqrt x  + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^x = \frac{1}{2}\pi \left. {\left( {100x + \frac{{40}}{3}x\sqrt x  + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{16}\)

\( \Leftrightarrow 100x + \frac{{40}}{3}x\sqrt x  + \frac{{{x^2}}}{2} = \frac{{3872}}{3}\)

Đặt t =\(\sqrt x \)(t>0)

Ta được phương trình \(100{t^2} + \frac{{40}}{3}{t^3} + \frac{{{t^4}}}{2} = \frac{{3872}}{3}\). Đặt \(f(t) = 100{t^2} + \frac{{40}}{3}{t^3} + \frac{{{t^4}}}{2}\)

\(f'(t) = 200t + 40{t^2} + 2{t^3} > 0\,\,\,(\forall t > 0)\)nên \(f(t)\) đồng biến trên \((0; + \infty )\)

Do đó phương trình trên có nghiệm duy nhất t \( \approx 2,990279433\)