Nếu cắt chậu nước có hình dạng như hình bên bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy \(x\)(cm)(\(0 \le x \le 16\)) thì mặt cắt là hình tròn có bán kính (10+\(\sqrt x \))(cm). Tìm \(x\)(đơn vị cm, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) để dung tích nước trong chậu bằng nửa thể tích của chậu?

Diện tích đáy của hình trụ là: \({\rm{S}} = \pi {x^2}\)

a) Đúng.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = \frac{{{x^2} - x}}{{x + 1}}\) và trục hoành

\(\,\,\frac{{{x^2} - x}}{{x + 1}} = 0\,\,,x \ne  - 1\,\,\, \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( C \right)\), trục tung, trục hoành  là

\({S_1} = \int\limits_0^1 {\left| {\frac{{{x^2} - x}}{{x + 1}}} \right|} \,{\rm{d}}x = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {x - 2 + \frac{2}{{x + 1}}} \right)} \,{\rm{d}}x} \right| = \left| {\left. {\left( {\frac{1}{2}{x^2} - 2x + 2\ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1} \right| = \frac{3}{2} - 2\ln 2\)(đvdt).

b) Sai.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = \frac{{{x^2} - x}}{{x + 1}}\) và đường thẳng \(d\): \(\frac{{{x^2} - x}}{{x + 1}} = 2\,\,,x \ne  - 1\,\,\,\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - x = 2\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2} \notin \left[ {1;2} \right]\\x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2} \notin \left[ {1;2} \right]\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng \(H\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( C \right)\), đường thẳng \(d:y = 2\) \(x = 1\,,\,\,x = 2\) là

\({S_2} = \int\limits_1^2 {\left| {\frac{{{x^2} - x}}{{x + 1}} - 2} \right|} \,{\rm{d}}x = \left| {\int\limits_1^2 {\left( {x - 4 + \frac{2}{{x + 1}}} \right)} \,{\rm{d}}x} \right| = \left| {\left. {\left( {\frac{1}{2}{x^2} - 4x + 2\ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_1^2} \right| = \frac{5}{2} - 2\ln \frac{3}{2}\) (đvdt).

c) Sai.

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( C \right)\), trục tung, trục hoành  khi quay quanh trục \(Ox\) là

\[{V_1} = \pi {\int\limits_0^1 {\left( {\frac{{{x^2} - x}}{{x + 1}}} \right)} ^2}{\rm{d}}x = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {x - 2 + \frac{2}{{x + 1}}} \right)}^2}} {\rm{d}}x = \pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 4x + 8 - \frac{{12}}{{x + 1}} + \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right)} \,{\rm{d}}x\]

\[ = \pi \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 8x - 12\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{4}{{x + 1}}} \right)} \right|_0^1 = \left( {\frac{{25}}{3} - 12\ln 2} \right)\pi \](đvdt).

d) Đúng.

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(H\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( C \right)\), đường thẳng \(d\), \(x = 0\,,\,\,x = 2\) khi quay quanh trục \(Ox\) là

\[\begin{array}{l}{V_2} = \pi \int\limits_1^2 {{2^2}{\rm{d}}x - } \pi {\int\limits_1^2 {\left( {\frac{{{x^2} - x}}{{x + 1}}} \right)} ^2}{\rm{d}}x\\ = 4\pi  - \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {x - 2 + \frac{2}{{x + 1}}} \right)}^2}} {\rm{d}}x = 4\pi  - \pi \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 4x + 8 - \frac{{12}}{{x + 1}} + \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right)\,} {\rm{d}}x\end{array}\]

\[ = 4\pi  - \pi \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 8x - 12\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{4}{{x + 1}}} \right)} \right|_1^2\]