Cho hình phẳng \[\left( H \right)\] giới hạn bởi các đường \[y = \left| {{x^2} - 1} \right|\] và \[y = k\], với \[0 < k < 1\]. Tìm \[k\] để diện tích hình phẳng \[\left( H \right)\] gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên. Khi đó \[k = \sqrt[m]{n} - p\] thì giá trị của \[m + n + p\] bằng bao nhiêu?

Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\). Lúc dó \(S = 2{S_1} + 2{S_2}\), trong đó \({S_1}\) là diện tích phần gạch sọc ở bên phải \(Oy\) và \({S_2}\) là diện tích phần gạch ca rô trong hình vẽ bên.

Gọi\(A,\)\(B\) là các giao diếm có hoành độ dương của đường thẳng \(y = k\) và đồ thị hàm số\(y = \left| {{x^2} - 1} \right|\), trong đó \(A\left( {\sqrt {1 - k} ;k} \right)\) và \(B\left( {\sqrt {1 + k} ;k} \right)\).

Thco yêu cầu bài toán \(S = 2 \cdot 2{S_1} \Leftrightarrow {S_1} = {S_2}\).

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^{\sqrt {1 - k} } {\left( {1 - {x^2} - k} \right){\rm{d}}x} {\rm{\;}} = \int\limits_{\sqrt {1 - k} }^1 {\left( {k - 1 - {x^2}} \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_1^{\sqrt {1 + k} } {\left( {k - {x^2} + 1} \right){\rm{d}}x} \).

\( \Leftrightarrow {\rm{\;}}\left( {1 - k} \right)\sqrt {1 - k}  - \frac{1}{3}\left( {1 - k} \right)\sqrt {1 - k}  = \frac{1}{3} - \left( {1 - k} \right) - \frac{1}{3}\left( {1 - k} \right)\sqrt {1 - k} \).

\( + \left( {1 - k} \right)\sqrt {1 - k}  + \left( {1 + k} \right)\sqrt {1 + k}  - \frac{1}{3}\left( {1 + k} \right)\sqrt {1 + k}  - \left( {1 + k} \right) + \frac{1}{3}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\rm{\;}}\frac{2}{3}\left( {1 + k} \right)\sqrt {1 + k}  = \frac{4}{3}\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {1 + k} } \right)^3} = 2\\ \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{4} - 1 = \sqrt[m]{n} - p\end{array}\).