Theo Định luật Hooke, lực cần dùng để kéo giãn lò xo thêm \(x\) mét từ độ dài tự nhiên là \(f\left( x \right) = k.x\left( N \right)\) với \(k\left( {N/m} \right)\) là độ cứng của lò xo. Một lực \(50N\) được dùng để kéo giãn lò xo từ \(10cm\)đến độ dài \(15cm\). Hỏi cần thực hiện một công là bao nhiêu để kéo giãn lò xo từ \(15cm\) đến \(20cm\)?

a) ĐÚNG

Ta có \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow m + 1 =  - 3 \Leftrightarrow m =  - 4\).

b) ĐÚNG

Ta có \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {x^2} + mx + {C_1}\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 1\\x - 2x{}^2\,\, + {C_2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 1\end{array} \right.\)

\(F\left( { - 2} \right) = \left( { - 2} \right) - 2.{\left( { - 2} \right)^2} + {C_2} = {C_2} - 10 \Rightarrow {C_2} = 10 - 6 = 4\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^3} - {x^2} + mx + {C_1}} \right) = m + {C_1}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x - 2{x^2} + {C_2}} \right) =  - 1 + {C_2} = 3\).

Ta lại có \(F\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = F\left( 1 \right)\)\[ \Leftrightarrow m + {C_1} = 3 \Leftrightarrow {C_1} = 3 - m = 7\].

Vậy \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {x^2} - 4x + 7\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 1\\x - 2x{}^2\,\, + 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 1\end{array} \right.\).

c) SAI

Ta có \[\int\limits_{ - 1}^5 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {1 - 4x} \right)dx}  + \int\limits_1^5 {\left( {3{x^2} - 2x - 4} \right)dx}  = 86\]

d) SAI

Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\).

Khi \(x = 1 \Rightarrow t = 0\);

Khi \(x = {e^2} \Rightarrow t = 2\).

Do đó

Gọi \[\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\] là parabol đi qua điểm \[A\left( {3;\frac{3}{2}} \right)\] và có đỉnh \[I\left( {0;2} \right)\](hình vẽ bên dưới).

Khi đó thể tích thùng Bia bằng thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi \[\left( P \right)\], trục hoành và hai đường thẳng \[x = 3;\,x =  - 3\] quay quanh trục \[Ox\].

Ta thấy \[\left( P \right)\]có đỉnh \[I\left( {0;2} \right)\] nên \[\left( P \right):y = a{x^2} + 2\], mặt khác \[\left( P \right)\] đi qua điểm \[A\left( {3;\frac{3}{2}} \right)\] nên ta tìm được \[\left( P \right)\]có phương trình \[y = \frac{{ - {x^2}}}{{18}} + 2\].

Khi đó thể tích thùng Bia là: