Sân vận động Sport Hub (Singapore) là sân có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm \[2015\]. Nền sân là một elip \(\left( E \right)\) có trục lớn dài \[150m\], trục bé dài \[90m\] (hình vẽ). Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục lớn của \(\left( E \right)\)và cắt elip ở \(M,N\) (hình vẽ) thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm \(I\) (phần tô đậm trong hình 4) với \(MN\) là một dây cung và góc \(\widehat {MIN} = {90^0}.\) Để lắp máy điều hòa không khí thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích vật liệu là mái không đáng kể. Biết rằng cách tính công suất cần đủ là \(200\,\,BTU/{m^3}\). Hỏi cần bao nhiêu chiếc điều hòa công suất 50000 BTU?

Khi lò xo được kéo giãn từ độ dài từ \(10cm\) đến\(15cm\), thì lượng kéo giãn là \(x = 15 - 10 = 5cm \Rightarrow x = 0,05m\). Điều này có nghĩa là \(f\left( {0,05} \right) = 50 \Rightarrow 0,05.k = 50 \Rightarrow k = 50:0,05 = 1000\left( {N/m} \right)\).

Do đó, ta có:

\(f\left( x \right) = 1000.x\left( N \right)\) và công cần thực hiện để kéo giãn lò xo từ \(15cm\) đến \(20cm\) là

a) ĐÚNG

Ta có \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow m + 1 =  - 3 \Leftrightarrow m =  - 4\).

b) ĐÚNG

Ta có \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {x^2} + mx + {C_1}\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 1\\x - 2x{}^2\,\, + {C_2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 1\end{array} \right.\)

\(F\left( { - 2} \right) = \left( { - 2} \right) - 2.{\left( { - 2} \right)^2} + {C_2} = {C_2} - 10 \Rightarrow {C_2} = 10 - 6 = 4\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^3} - {x^2} + mx + {C_1}} \right) = m + {C_1}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x - 2{x^2} + {C_2}} \right) =  - 1 + {C_2} = 3\).

Ta lại có \(F\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = F\left( 1 \right)\)\[ \Leftrightarrow m + {C_1} = 3 \Leftrightarrow {C_1} = 3 - m = 7\].

Vậy \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {x^2} - 4x + 7\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 1\\x - 2x{}^2\,\, + 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 1\end{array} \right.\).

c) SAI

Ta có \[\int\limits_{ - 1}^5 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {1 - 4x} \right)dx}  + \int\limits_1^5 {\left( {3{x^2} - 2x - 4} \right)dx}  = 86\]

d) SAI

Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\).

Khi \(x = 1 \Rightarrow t = 0\);

Khi \(x = {e^2} \Rightarrow t = 2\).

Do đó