Cho phương trình \({x^2} - 2x + m + 2 = 0\). Tìm m để phương trình có nghiệm \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 10\).

Ta có: \(a = 1;b =  - 2 \Rightarrow b' =  - 1;c = m + 2\). Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) khi và chỉ khi

\(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m + 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \;m \le  - 1\)

Theo hệ thức Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = 2;{x_1}{x_2} = m + 2\). Vậy \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 10 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\)

\( \Leftrightarrow 4 - 2\left( {m + 2} \right) = 10 \Leftrightarrow  - 2m = 10 \Leftrightarrow m =  - 5{\rm{ }}\)(thỏa mãn điều kiện \(m \ge  - 1\))

Đáp số: \(m =  - 5\).

Cách khác: Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\). Theo hệ thức Viète, ta có:

\({x_1} + {x_2} = 2;{x_1}{x_2} = m + 2\) (Tương tự cách giải trên):

\({x_1}^2 + {x_2}^2 = 10 \Leftrightarrow 4 - 2\left( {\;m + 2} \right) = 10 \Leftrightarrow \;m =  - 5\)

Thử lại: Với \(m =  - 5\), ta có phương trình \({x^2} - 2x - 3 = 0\). Ta có \(a = 1;b =  - 2;c =  - 3 \Rightarrow ac =  - 2 < 0 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm.

Chú ý: Vì ta giả sử có nghiệm, để tìm được \(m\), sau đó ta phải thử lại. Nếu làm như cách thứ nhất, ta tìm điều kiện cho phương trình có nghiệm thì không cần thử lại.