Cho phương trình \({x^2} - 2mx + 2\;m - 3 = 0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x_1}^2 + {x_2}^2\), trong đó \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình.

Hướng dẫn: Trước hết phải tìm điều kiện để phương trình có nghiệm; sau đó áp dụng hệ thực Viète để tính \({x_1}^2 + {x_2}^2\) qua các hệ số.

Cái cổng có hình dạng là một parabol có phương trình dạng: \((P):y = a{x^2}(a < 0)\).

\({\rm{OA}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{2} = \frac{{162}}{2} = 81\;{\rm{m}}\) \( \Rightarrow {\rm{A}}(81; - 185,6) \in (P):y = a{x^2} \Rightarrow  - 185,6 = a{.81^2} \Rightarrow a = \frac{{ - 185,6}}{{{{81}^2}}} = \frac{{ - 185}}{{6561}}\)

\((P):y = \frac{{ - 185}}{{6561}}{x^2}\)

\({\rm{HM}} = {\rm{EH}} - {\rm{ME}} = 185,6 - 43 = 142,6\;{\rm{m}}\)

\( \Rightarrow {\rm{M}}\left( {{x_{\rm{M}}}; - 142,6} \right) \in (P):y = \frac{{ - 185}}{{6561}}{x^2} \Rightarrow  - 142,6 = \frac{{ - 185}}{{6561}}x_{\rm{M}}^2\)

\( \Rightarrow {x_{\rm{M}}}^2 = \frac{{ - 142,6.6561}}{{ - 185}} = \frac{{4677993}}{{925}} \Rightarrow {x_{\rm{M}}} = \sqrt {\frac{{4677993}}{{925}}}  \approx 71,11\;{\rm{m}}\)

\( \Rightarrow {\rm{OE}} = 71,11\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{EA}} = {\rm{OA}} - {\rm{OE}} = 81 - 71,11 = 9,89\;{\rm{m}}.\)

Vậy vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng \(A\) một khoảng là \(9,89\;{\rm{m}}\).

a) Giả sử trên mặt phẳng tọa độ, độ dài các đoạn thẳng được tính theo đơn vị mét. Do khoảng cách giữa hai chân cổng là 4 m nên \({\rm{MA}} = {\rm{NA}} = 2\;{\rm{m}}\). Theo giả thiết ta có \({\rm{OM}} = {\rm{ON}} = 2\sqrt 5 \).

Xét  vuông tại \(A\), ta có: \({\rm{OA}} = \sqrt {{\rm{O}}{{\rm{M}}^2} - {\rm{A}}{{\rm{M}}^2}}  = \sqrt {{{(2\sqrt 5 )}^2} - {2^2}}  = 4\;{\rm{m}}\).

\( \Rightarrow {\rm{M}}(2; - 4) \in (P):y = a{x^2} \Rightarrow  - 4 = a{.2^2} \Rightarrow a =  - 1\).

b) Để đáp ứng chiều cao trước hết xe tải phải đi vào chính giữa cổng.

\( \Rightarrow {\rm{AB}} = 2,5\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{OB}} = {\rm{OA}} - {\rm{AB}} = 4 - 2,5 = 1,5\;{\rm{m}}\)

\(({\rm{HT}}):y =  - \frac{3}{2}\)

Đường thẳng này cắt Parabol tại 2 điểm có tọa độ thỏa mãn hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y =  - {x^2}}\\{y =  - \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} = \frac{3}{2}}\\{y =  - \frac{3}{2}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}}\\{y =  - \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}}\\{y =  - \frac{3}{2}}\end{array} \Rightarrow H\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2}; - \frac{3}{2}} \right),T\left( { - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}; - \frac{3}{2}} \right)} \right.\)

\( \Rightarrow {\rm{HT}} = 3\sqrt 2  \approx 4,24\;{\rm{m}} > 2,4\;{\rm{m}}.\)Vậy xe tải có thể đi qua cổng.