Cho phương trình \({x^2} - 2mx + 2\;m - 3 = 0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x_1}^2 + {x_2}^2\), trong đó \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình.

Hướng dẫn: Trước hết phải tìm điều kiện để phương trình có nghiệm; sau đó áp dụng hệ thực Viète để tính \({x_1}^2 + {x_2}^2\) qua các hệ số.

a) \(A\) thuộc đường thẳng \({\rm{y}} = 2{\rm{x}} - 1\) và hoành độ bằng 2 nên tung độ của \(A:y = 2.2 - 1 \Rightarrow y = 3\). Vậy \(A(2;3)\).

Lại có A là giao điểm của parabol \(y = (m + 1){x^2}\) và \(y = 2x - 1\) nên ta có \(3 = (m + 1) \cdot {(2)^2}\)

\( \Rightarrow 4\;{\rm{m}} + 4 = 3 \Rightarrow \;{\rm{m}} =  - \frac{1}{4}\). Vậy \({\rm{y}} = \frac{3}{4}{{\rm{x}}^2}\).

b) Vẽ parabol (P): \(y = \frac{3}{4}{x^2}\).

Bảng giá trị:

Parabol \(({\rm{P}})\) có đỉnh O và nhận trục tung làm trục đối xứng.

Ta có \(a = 3;b = 2;c =  - 6 \Rightarrow \;a.c =  - 18 < 0 \Rightarrow \) phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt (khác dấu) \({x_1},{x_2}\).

Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} =  - \frac{2}{3};{x_1}{x_2} =  - 2\).

Vậy \(A = {x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2} - 4.( - 2) = \frac{{76}}{9}\)

Nhận xét: Từ kết quả trên, ta có thể tìm được: \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \frac{{\sqrt {76} }}{3} = \frac{{2\sqrt {19} }}{3} \Rightarrow {x_1} - {x_2} =  \pm \frac{{2\sqrt {19} }}{3}\)