Cho hàm số \({\rm{y}} = ({\rm{m}} + 1){{\rm{x}}^2}\) và \({\rm{y}} = 2{\rm{x}} - 1\).

a) Tìm m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại điểm A có hoành độ bằng 2.

b) Vẽ đồ thị hàm số \({\rm{y}} = ({\rm{m}} + 1){{\rm{x}}^2}\) với m vừa tìm được ở câu \(\left. a \right)\).

Ta có \(a = 3;b = 2;c =  - 6 \Rightarrow \;a.c =  - 18 < 0 \Rightarrow \) phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt (khác dấu) \({x_1},{x_2}\).

Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} =  - \frac{2}{3};{x_1}{x_2} =  - 2\).

Vậy \(A = {x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2} - 4.( - 2) = \frac{{76}}{9}\)

Nhận xét: Từ kết quả trên, ta có thể tìm được: \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \frac{{\sqrt {76} }}{3} = \frac{{2\sqrt {19} }}{3} \Rightarrow {x_1} - {x_2} =  \pm \frac{{2\sqrt {19} }}{3}\)

Ta có: \(a = 3;b =  - 7;c =  - 4 \Rightarrow a.c =  - 12 < 0\). Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).

Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{7}{3};{x_1}{x_2} = \frac{{ - 4}}{3}\).

a) Ta có: \({A^2} = {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = {x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {\left( {\frac{7}{3}} \right)^2} - 4.\left( {\frac{{ - 4}}{3}} \right) = \frac{{97}}{9} \Rightarrow A = \frac{{\sqrt {97} }}{3}\)

b) Ta có \(B = \frac{{x_1^3 + x_2^3}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^3} - 3{x_1}{x_2}.\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{{{\left( {\frac{7}{3}} \right)}^3} - 3.\left( {\frac{{ - 4}}{3}} \right).\frac{7}{3}}}{{\frac{{ - 4}}{3}}} =  - \frac{{595}}{{36}}\)