Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần. Nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho.

Cái cổng có hình dạng là một parabol có phương trình dạng: \((P):y = a{x^2}(a < 0)\).

\({\rm{OA}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{2} = \frac{{162}}{2} = 81\;{\rm{m}}\) \( \Rightarrow {\rm{A}}(81; - 185,6) \in (P):y = a{x^2} \Rightarrow  - 185,6 = a{.81^2} \Rightarrow a = \frac{{ - 185,6}}{{{{81}^2}}} = \frac{{ - 185}}{{6561}}\)

\((P):y = \frac{{ - 185}}{{6561}}{x^2}\)

\({\rm{HM}} = {\rm{EH}} - {\rm{ME}} = 185,6 - 43 = 142,6\;{\rm{m}}\)

\( \Rightarrow {\rm{M}}\left( {{x_{\rm{M}}}; - 142,6} \right) \in (P):y = \frac{{ - 185}}{{6561}}{x^2} \Rightarrow  - 142,6 = \frac{{ - 185}}{{6561}}x_{\rm{M}}^2\)

\( \Rightarrow {x_{\rm{M}}}^2 = \frac{{ - 142,6.6561}}{{ - 185}} = \frac{{4677993}}{{925}} \Rightarrow {x_{\rm{M}}} = \sqrt {\frac{{4677993}}{{925}}}  \approx 71,11\;{\rm{m}}\)

\( \Rightarrow {\rm{OE}} = 71,11\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{EA}} = {\rm{OA}} - {\rm{OE}} = 81 - 71,11 = 9,89\;{\rm{m}}.\)

Vậy vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng \(A\) một khoảng là \(9,89\;{\rm{m}}\).

Ta có \(a = 1;b =  - 2\;m \Rightarrow \;b' =  - m;c = 2\;m - 3\). Phương trình đã cho có nghiệm \({x_1},{x_2}\) khi và chỉ khi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ne 0}\\{\Delta ' \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \ne 0}\\{{{\left( { - m} \right)}^2} - \left( {2m - 3} \right) \ge 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 3 \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + 2 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + 2 \ge 0\) (luôn đúng với mọi \(m\) vì \({\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0,\forall m\)) Vậy \(A = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 4{m^2} - 2\left( {2m - 3} \right) = 4{m^2} - 4m + 6 = \left( {4{m^2} - 4m + 1} \right) + 5n\)

\( = {(2m - 1)^2} + 5 \ge 5;\forall m\left( {{{(2m - 1)}^2} \ge 0,\forall m} \right)\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\)

Chú ý: Nếu ta không đặt điều kiện phương trình có nghiệm thì vẫn đúng đáp số, nhưng lời giải như vậy chưa chính xác.