Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần. Nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho.

Cái cổng có hình dạng là một parabol có phương trình dạng: \((P):y = a{x^2}(a < 0)\).

\({\rm{OA}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{2} = \frac{{162}}{2} = 81\;{\rm{m}}\) \( \Rightarrow {\rm{A}}(81; - 185,6) \in (P):y = a{x^2} \Rightarrow  - 185,6 = a{.81^2} \Rightarrow a = \frac{{ - 185,6}}{{{{81}^2}}} = \frac{{ - 185}}{{6561}}\)

\((P):y = \frac{{ - 185}}{{6561}}{x^2}\)

\({\rm{HM}} = {\rm{EH}} - {\rm{ME}} = 185,6 - 43 = 142,6\;{\rm{m}}\)

\( \Rightarrow {\rm{M}}\left( {{x_{\rm{M}}}; - 142,6} \right) \in (P):y = \frac{{ - 185}}{{6561}}{x^2} \Rightarrow  - 142,6 = \frac{{ - 185}}{{6561}}x_{\rm{M}}^2\)

\( \Rightarrow {x_{\rm{M}}}^2 = \frac{{ - 142,6.6561}}{{ - 185}} = \frac{{4677993}}{{925}} \Rightarrow {x_{\rm{M}}} = \sqrt {\frac{{4677993}}{{925}}}  \approx 71,11\;{\rm{m}}\)

\( \Rightarrow {\rm{OE}} = 71,11\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{EA}} = {\rm{OA}} - {\rm{OE}} = 81 - 71,11 = 9,89\;{\rm{m}}.\)

Vậy vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng \(A\) một khoảng là \(9,89\;{\rm{m}}\).

Ta có: \(a = 1;b =  - 2 \Rightarrow b' =  - 1;c = m + 2\). Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) khi và chỉ khi

\(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m + 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \;m \le  - 1\)

Theo hệ thức Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = 2;{x_1}{x_2} = m + 2\). Vậy \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 10 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\)

\( \Leftrightarrow 4 - 2\left( {m + 2} \right) = 10 \Leftrightarrow  - 2m = 10 \Leftrightarrow m =  - 5{\rm{ }}\)(thỏa mãn điều kiện \(m \ge  - 1\))

Đáp số: \(m =  - 5\).

Cách khác: Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\). Theo hệ thức Viète, ta có:

\({x_1} + {x_2} = 2;{x_1}{x_2} = m + 2\) (Tương tự cách giải trên):

\({x_1}^2 + {x_2}^2 = 10 \Leftrightarrow 4 - 2\left( {\;m + 2} \right) = 10 \Leftrightarrow \;m =  - 5\)

Thử lại: Với \(m =  - 5\), ta có phương trình \({x^2} - 2x - 3 = 0\). Ta có \(a = 1;b =  - 2;c =  - 3 \Rightarrow ac =  - 2 < 0 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm.

Chú ý: Vì ta giả sử có nghiệm, để tìm được \(m\), sau đó ta phải thử lại. Nếu làm như cách thứ nhất, ta tìm điều kiện cho phương trình có nghiệm thì không cần thử lại.