Giả sử Cổng Arch tại thành phố St Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol (hình vẽ). Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 162 m, điểm cao nhất trên cổng cách mặt đất 185,6m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 43 m so với mặt đất (điểm M), người ta thả một sợi dây chạm đất (dây căng thẳng theo phương vuông góc với mặt đất). Hỏi vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng A một đoạn bao nhiêu mét? (làm tròn đến cm )

Gọi chữ số hàng chục là \(x\), chữ số hàng đơn vị là \(y\,(x,y \in \mathbb{N},0 < x \le 9,0 \le y \le 9)\).

Theo đề Câu, tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần, ta có phương trình

\(6(x + y) = 10x + y{\rm{. }}\) (1)

Nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho, ta có phương trình

\(xy + 25 = 10y + x{\rm{. }}\) (2)

Từ (1) suy ra \(x = \frac{{5y}}{4}\)thay vào (2) ta có \({y^2} - 9y + 20 = 0\).

Giải phương trình này, ta được \({y_1} = 5,{y_2} = 4\).

Với \({y_1} = 5\) thì \({x_1} = 6,25\) (không thỏa mãn).

Với \({y_2} = 4\) thì \({x_2} = 5\) (thỏa mãn).

Vậy số phải tìm là 54.

a) Giả sử trên mặt phẳng tọa độ, độ dài các đoạn thẳng được tính theo đơn vị mét. Do khoảng cách giữa hai chân cổng là 4 m nên \({\rm{MA}} = {\rm{NA}} = 2\;{\rm{m}}\). Theo giả thiết ta có \({\rm{OM}} = {\rm{ON}} = 2\sqrt 5 \).

Xét  vuông tại \(A\), ta có: \({\rm{OA}} = \sqrt {{\rm{O}}{{\rm{M}}^2} - {\rm{A}}{{\rm{M}}^2}}  = \sqrt {{{(2\sqrt 5 )}^2} - {2^2}}  = 4\;{\rm{m}}\).

\( \Rightarrow {\rm{M}}(2; - 4) \in (P):y = a{x^2} \Rightarrow  - 4 = a{.2^2} \Rightarrow a =  - 1\).

b) Để đáp ứng chiều cao trước hết xe tải phải đi vào chính giữa cổng.

\( \Rightarrow {\rm{AB}} = 2,5\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{OB}} = {\rm{OA}} - {\rm{AB}} = 4 - 2,5 = 1,5\;{\rm{m}}\)

\(({\rm{HT}}):y =  - \frac{3}{2}\)

Đường thẳng này cắt Parabol tại 2 điểm có tọa độ thỏa mãn hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y =  - {x^2}}\\{y =  - \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} = \frac{3}{2}}\\{y =  - \frac{3}{2}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}}\\{y =  - \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}}\\{y =  - \frac{3}{2}}\end{array} \Rightarrow H\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2}; - \frac{3}{2}} \right),T\left( { - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}; - \frac{3}{2}} \right)} \right.\)

\( \Rightarrow {\rm{HT}} = 3\sqrt 2  \approx 4,24\;{\rm{m}} > 2,4\;{\rm{m}}.\)Vậy xe tải có thể đi qua cổng.