Giả sử Cổng Arch tại thành phố St Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol (hình vẽ). Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 162 m, điểm cao nhất trên cổng cách mặt đất 185,6m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 43 m so với mặt đất (điểm M), người ta thả một sợi dây chạm đất (dây căng thẳng theo phương vuông góc với mặt đất). Hỏi vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng A một đoạn bao nhiêu mét? (làm tròn đến cm )

Ta có \(a = 1;b =  - 2\;m \Rightarrow \;b' =  - m;c = 2\;m - 3\). Phương trình đã cho có nghiệm \({x_1},{x_2}\) khi và chỉ khi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ne 0}\\{\Delta ' \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \ne 0}\\{{{\left( { - m} \right)}^2} - \left( {2m - 3} \right) \ge 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 3 \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + 2 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + 2 \ge 0\) (luôn đúng với mọi \(m\) vì \({\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0,\forall m\)) Vậy \(A = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 4{m^2} - 2\left( {2m - 3} \right) = 4{m^2} - 4m + 6 = \left( {4{m^2} - 4m + 1} \right) + 5n\)

\( = {(2m - 1)^2} + 5 \ge 5;\forall m\left( {{{(2m - 1)}^2} \ge 0,\forall m} \right)\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\)

Chú ý: Nếu ta không đặt điều kiện phương trình có nghiệm thì vẫn đúng đáp số, nhưng lời giải như vậy chưa chính xác.

Ta có: \(a = 1;b =  - 2 \Rightarrow b' =  - 1;c = m + 2\). Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) khi và chỉ khi

\(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m + 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \;m \le  - 1\)

Theo hệ thức Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = 2;{x_1}{x_2} = m + 2\). Vậy \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 10 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\)

\( \Leftrightarrow 4 - 2\left( {m + 2} \right) = 10 \Leftrightarrow  - 2m = 10 \Leftrightarrow m =  - 5{\rm{ }}\)(thỏa mãn điều kiện \(m \ge  - 1\))

Đáp số: \(m =  - 5\).

Cách khác: Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\). Theo hệ thức Viète, ta có:

\({x_1} + {x_2} = 2;{x_1}{x_2} = m + 2\) (Tương tự cách giải trên):

\({x_1}^2 + {x_2}^2 = 10 \Leftrightarrow 4 - 2\left( {\;m + 2} \right) = 10 \Leftrightarrow \;m =  - 5\)

Thử lại: Với \(m =  - 5\), ta có phương trình \({x^2} - 2x - 3 = 0\). Ta có \(a = 1;b =  - 2;c =  - 3 \Rightarrow ac =  - 2 < 0 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm.

Chú ý: Vì ta giả sử có nghiệm, để tìm được \(m\), sau đó ta phải thử lại. Nếu làm như cách thứ nhất, ta tìm điều kiện cho phương trình có nghiệm thì không cần thử lại.