Giả sử Cổng Arch tại thành phố St Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol (hình vẽ). Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 162 m, điểm cao nhất trên cổng cách mặt đất 185,6m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 43 m so với mặt đất (điểm M), người ta thả một sợi dây chạm đất (dây căng thẳng theo phương vuông góc với mặt đất). Hỏi vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng A một đoạn bao nhiêu mét? (làm tròn đến cm )

Ta có \(a = 1;b =  - 2\;m \Rightarrow \;b' =  - m;c = 2\;m - 3\). Phương trình đã cho có nghiệm \({x_1},{x_2}\) khi và chỉ khi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ne 0}\\{\Delta ' \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \ne 0}\\{{{\left( { - m} \right)}^2} - \left( {2m - 3} \right) \ge 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 3 \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + 2 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + 2 \ge 0\) (luôn đúng với mọi \(m\) vì \({\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0,\forall m\)) Vậy \(A = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 4{m^2} - 2\left( {2m - 3} \right) = 4{m^2} - 4m + 6 = \left( {4{m^2} - 4m + 1} \right) + 5n\)

\( = {(2m - 1)^2} + 5 \ge 5;\forall m\left( {{{(2m - 1)}^2} \ge 0,\forall m} \right)\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\)

Chú ý: Nếu ta không đặt điều kiện phương trình có nghiệm thì vẫn đúng đáp số, nhưng lời giải như vậy chưa chính xác.

a) Giả sử trên mặt phẳng tọa độ, độ dài các đoạn thẳng được tính theo đơn vị mét. Do khoảng cách giữa hai chân cổng là 4 m nên \({\rm{MA}} = {\rm{NA}} = 2\;{\rm{m}}\). Theo giả thiết ta có \({\rm{OM}} = {\rm{ON}} = 2\sqrt 5 \).

Xét  vuông tại \(A\), ta có: \({\rm{OA}} = \sqrt {{\rm{O}}{{\rm{M}}^2} - {\rm{A}}{{\rm{M}}^2}}  = \sqrt {{{(2\sqrt 5 )}^2} - {2^2}}  = 4\;{\rm{m}}\).

\( \Rightarrow {\rm{M}}(2; - 4) \in (P):y = a{x^2} \Rightarrow  - 4 = a{.2^2} \Rightarrow a =  - 1\).

b) Để đáp ứng chiều cao trước hết xe tải phải đi vào chính giữa cổng.

\( \Rightarrow {\rm{AB}} = 2,5\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{OB}} = {\rm{OA}} - {\rm{AB}} = 4 - 2,5 = 1,5\;{\rm{m}}\)

\(({\rm{HT}}):y =  - \frac{3}{2}\)

Đường thẳng này cắt Parabol tại 2 điểm có tọa độ thỏa mãn hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y =  - {x^2}}\\{y =  - \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} = \frac{3}{2}}\\{y =  - \frac{3}{2}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}}\\{y =  - \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}}\\{y =  - \frac{3}{2}}\end{array} \Rightarrow H\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2}; - \frac{3}{2}} \right),T\left( { - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}; - \frac{3}{2}} \right)} \right.\)

\( \Rightarrow {\rm{HT}} = 3\sqrt 2  \approx 4,24\;{\rm{m}} > 2,4\;{\rm{m}}.\)Vậy xe tải có thể đi qua cổng.