Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\) (hình vẽ). Nêu các phép quay giữ nguyên hình vuông đó.

Ta có \(ABCD\) là hình vuông nên \(OA = OB = OC = OD\) và \(AC \bot BD\).

Ta có: $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COD}=\widehat{DOA}={90}^{°}$

Phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm D là phép quay ${3.90}^{°}={270}^{°}$. Khi đó điểm B biến thành điểm A , điểm C biến thành điểm B và điểm D biến thành điểm B .

a) Dễ thấy \[ABCDEF\] là lục giác đều nên $\widehat{ABF}=\widehat{AFE}=\widehat{FED}=\widehat{EDC}=\widehat{DCB}=\widehat{CBA}={120}^{°}$

Ta có tứ giác \(ABCF\) nội tiếp đường tròn \(\left( R \right)\) nên $\widehat{BCF}=\widehat{BAF}={180}^{°}$ hay $\widehat{BCF}+{120}^{°}={180}^{°}\Rightarrow \widehat{BCF}={180}^{°}-{120}^{°}={60}^{°}$

Tương tự tứ giác \[ABDF\] nội tiếp đường tròn \(\left( R \right)\) nên $\widehat{BDF}=\widehat{BAF}={180}^{°}$ hay $\widehat{BDF}+{120}^{°}={180}^{°}\Rightarrow \widehat{BDF}={180}^{°}-{120}^{°}={60}^{°}$

Tương tự ta có $\widehat{BEF}={60}^{°}$

b) Ba đỉnh \(A,C,E\) của tam giác đều \(ACE\) chia đường tròn \(\left( O \right)\) thành ba cung bằng nhau:

 $\text{ sd}\stackrel{⏜}{\text{AC}}\text{=sd}\stackrel{⏜}{\text{CE}}\text{=sd}\stackrel{⏜}{\text{EA}}{\text{=120}}^{\text{°}}$

Do đó có 6 phép quay tâm O giữ nguyên tam giác đó là:

Phép quay ${120}^{°},{240}^{°}$ thuận chiều hoặc ${120}^{°}$ ngược chiều.

Nhận xét: Có tất cả 6 phép quay ${120}^{°},{240}^{°},{3640}^{°}$ tâm \(O\) thuận chiều hoặc ngược chiều kim đồng hồ giữ nguyên tam giác.