Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz - 9 = 0\) chứa hai điểm \(A\left( {3;2;1} \right)\), \(B\left( { - 3;5;2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):3x + y + z + 4 = 0\). Tính tổng \(S = a + b + c\).
A. \(S = - 12\).
B. \(S = 2\).
C. \(S = - 4\).
D. \(S = - 2\).
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Phương trình mặt phẳng (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;3;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {3;1;1} \right)\) là VTPT của mp\(\left( Q \right)\).
Mp\(\left( P \right)\) chứa hai điểm \(A\left( {3;2;1} \right)\), \(B\left( { - 3;5;2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( p \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right] = \left( {2;9; - 15} \right)\) là VTPT của mp\(\left( P \right)\)
Vì \(A\left( {3;2;1} \right) \in \left( P \right)\) \( \Rightarrow \left( P \right):2x + 9y - 15z - 9 = 0\) hoặc \(\left( P \right): - 2x - 9y + 15z + 9 = 0\)
Mặt khác \(\left( P \right):ax + by + cz - 9 = 0\)\( \Rightarrow a = 2;b = 9;c = - 15\).
Vậy \(S = a + b + c = 2 + 9 + \left( { - 15} \right) = - 4\).Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Chọn hệ trục như hình vẽ. Gọi \(M\) là điểm mà quả bóng chạm đất.
Khi đó \({x_M} = 0,5\), \({y_M} = \sqrt {4,{5^2} - 0,{5^2}} = 2\sqrt 5 \)
Vì \(\left( \alpha \right) \bot \left( {Oxy} \right)\) nên \(\left( \alpha \right)\) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Mà \(\left( \alpha \right)\) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {OM} = \left( {0,5;2\sqrt 5 ;0} \right)\)
Khi đó véc tơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow {OM} } \right] = \left( { - 2\sqrt 5 ;0,5;0} \right)\).
Vậy \(\left( \alpha \right): - 2\sqrt 5 x + 0,5y = 0\) nên \(a = - 2\sqrt 5 ;b = 0,5;c = 0;d = 0 \Rightarrow a + b + c + d \approx - 4,5\).Lời giải
Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\), sao cho \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \) \( \Rightarrow I\) là trong tâm \(\Delta ABC\)\( \Rightarrow \) \(I\left( {1;1; - 1} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \)
\( = \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right).\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right).\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right) + \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right).\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)\)
\( = 3M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) + \left( {\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IC} .\overrightarrow {IA} } \right)\), (mà \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \))
\( = 3M{I^2} + \left( {\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IC} .\overrightarrow {IA} } \right)\)
Vì điểm \(I,A,B,C\) cố định nên \(\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IC} .\overrightarrow {IA} \) có giá trị không đổi.
Để \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \) có giá trị min \( \Leftrightarrow MI\) min.
Mà \(I\) cố định nên \(M\) là hình chiếu của \(I\) lên\(\left( {Oyz} \right)\), suy ra \(M\left( {0;1; - 1} \right)\).
Vậy \(a - 2b + c = 0 - 2.1 - 1 = - 3\).Câu 3
A. \[2x - 3y - z - 20 = 0\].
B. \[3x - y + 3z - 25 = 0\].
C. \[2x - 3y - z + 8 = 0\].
D. \[3x - y + 3z - 13 = 0\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
a) \[\overrightarrow {AB} = \left( {0;1;1} \right)\].
Đúng
Sai
b) Tích có hướng của hai vectơ \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \] là \[\overrightarrow a = \left( { - 1;3; - 3} \right)\].
Đúng
Sai
c) \(\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow b = \left( {6; - 2; - 4} \right)\) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng\[\left( {ABC} \right)\].
Đúng
Sai
d) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {AOB} \right)\] là: \[\overrightarrow n = \left( {1;1;2} \right)\].
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
a) Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)
Đúng
Sai
b) Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(G\left( {1;2;3} \right)\) sao cho \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\)là \(6x + 3y + 2z + 18 = 0\)
Đúng
Sai
c) Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(H\left( {1;1;1} \right)\) sao cho \(H\) là trực tâm \(\Delta ABC\)là \(x + y + z - 3 = 0\)
Đúng
Sai
d) Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2; - 2;3} \right)\) sao cho độ dài \(OA,OB,OC\)theo thứ tự tạo thành cấp số cộng có công sai bằng \(2\). Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) tới mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) bằng \(\frac{m}{n}\) với \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản, khi đó \(T = m + n = 19\).
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
a) \[\overrightarrow {AB} = \left( {3;3;3} \right)\].
Đúng
Sai
b) Ba điểm \[A,B,C\] không thẳng hàng.
Đúng
Sai
c) Mặt phẳng đi qua 3 điểm \[A,B,C\] có vectơ pháp tuyến là: \[\overrightarrow a = \left( {3;1; - 4} \right)\].
Đúng
Sai
d) Mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] đi qua \(A\) đồng thời song song với \(Oy\) và đường thẳng \(BC\) có vectơ pháp tuyến là: \[\overrightarrow n = \left( {1;0;2} \right)\].
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập