Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz - 9 = 0\) chứa hai điểm \(A\left( {3;2;1} \right)\), \(B\left( { - 3;5;2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):3x + y + z + 4 = 0\). Tính tổng \(S = a + b + c\).
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Phương trình mặt phẳng (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;3;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {3;1;1} \right)\) là VTPT của mp\(\left( Q \right)\).
Mp\(\left( P \right)\) chứa hai điểm \(A\left( {3;2;1} \right)\), \(B\left( { - 3;5;2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( p \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right] = \left( {2;9; - 15} \right)\) là VTPT của mp\(\left( P \right)\)
Vì \(A\left( {3;2;1} \right) \in \left( P \right)\) \( \Rightarrow \left( P \right):2x + 9y - 15z - 9 = 0\) hoặc \(\left( P \right): - 2x - 9y + 15z + 9 = 0\)
Mặt khác \(\left( P \right):ax + by + cz - 9 = 0\)\( \Rightarrow a = 2;b = 9;c = - 15\).
Vậy \(S = a + b + c = 2 + 9 + \left( { - 15} \right) = - 4\).Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án:
Chọn hệ trục như hình vẽ. Gọi \(M\) là điểm mà quả bóng chạm đất.
Khi đó \({x_M} = 0,5\), \({y_M} = \sqrt {4,{5^2} - 0,{5^2}} = 2\sqrt 5 \)
Vì \(\left( \alpha \right) \bot \left( {Oxy} \right)\) nên \(\left( \alpha \right)\) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Mà \(\left( \alpha \right)\) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {OM} = \left( {0,5;2\sqrt 5 ;0} \right)\)
Khi đó véc tơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow {OM} } \right] = \left( { - 2\sqrt 5 ;0,5;0} \right)\).
Vậy \(\left( \alpha \right): - 2\sqrt 5 x + 0,5y = 0\) nên \(a = - 2\sqrt 5 ;b = 0,5;c = 0;d = 0 \Rightarrow a + b + c + d \approx - 4,5\).Lời giải
Đáp án:
Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\), sao cho \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \) \( \Rightarrow I\) là trong tâm \(\Delta ABC\)\( \Rightarrow \) \(I\left( {1;1; - 1} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \)
\( = \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right).\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right).\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right) + \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right).\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)\)
\( = 3M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) + \left( {\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IC} .\overrightarrow {IA} } \right)\), (mà \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \))
\( = 3M{I^2} + \left( {\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IC} .\overrightarrow {IA} } \right)\)
Vì điểm \(I,A,B,C\) cố định nên \(\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IC} .\overrightarrow {IA} \) có giá trị không đổi.
Để \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \) có giá trị min \( \Leftrightarrow MI\) min.
Mà \(I\) cố định nên \(M\) là hình chiếu của \(I\) lên\(\left( {Oyz} \right)\), suy ra \(M\left( {0;1; - 1} \right)\).
Vậy \(a - 2b + c = 0 - 2.1 - 1 = - 3\).Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
a) \[\overrightarrow {AB} = \left( {0;1;1} \right)\].
b) Tích có hướng của hai vectơ \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \] là \[\overrightarrow a = \left( { - 1;3; - 3} \right)\].
c) \(\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow b = \left( {6; - 2; - 4} \right)\) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng\[\left( {ABC} \right)\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
a) Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)
b) Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(G\left( {1;2;3} \right)\) sao cho \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\)là \(6x + 3y + 2z + 18 = 0\)
c) Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(H\left( {1;1;1} \right)\) sao cho \(H\) là trực tâm \(\Delta ABC\)là \(x + y + z - 3 = 0\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
a) \[\overrightarrow {AB} = \left( {3;3;3} \right)\].
b) Ba điểm \[A,B,C\] không thẳng hàng.
c) Mặt phẳng đi qua 3 điểm \[A,B,C\] có vectơ pháp tuyến là: \[\overrightarrow a = \left( {3;1; - 4} \right)\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập