Trong không gian hệ toạ độ \[Oxyz\], lập phương trình các mặt phẳng song song với mặt phẳng \(\left( \beta  \right):x + y - z + 3 = 0\) và cách \(\left( \beta  \right)\) một khoảng bằng \(\sqrt 3 \).

Trong tiết thể dục học về kĩ thuật chuyền bóng hơi, Nam và An đang tập chuyền bóng cho nhau, Nam ném bóng cho An đỡ, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang phải của Nam và rơi xuống vị trí cách An \(0,5m\) và cách Nam \(4,5m\) được mô tả bằng hình vẽ bên dưới

Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):ax + \frac{1}{2}y + cx + d = 0\) và vuông góc với mặt đất. Khi đó giá trị của \(a + c + d\) bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm\[A\left( {5; - 4;2} \right)\]và \(B\left( {1;2;3} \right)\). Viết phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(AB\).

Trong không gian \(Oxyz\), điểm \[M\] thuộc trục \[Oy\] và cách đều hai mặt phẳng: \[\left( P \right):x + y - z + 1 = 0\] và \[\left( Q \right):x - y + z - 5 = 0\] có tọa độ là