Trong không gian với hệ tọa độ \({\rm{O}}xyz\), cho ba điểm \(A(1;4;5)\), \(B(3;4;0),C(2; - 1;0)\) và mặt phẳng \((P):3x + 3y - 2z - 29 = 0\). Gọi \(M(a;b;c)\) là điểm thuộc \((P)\) sao cho biểu thức \(T = M{A^2} + M{B^2} + 3M{C^2}\) đạt GTNN. Tính tổng \(a + b + c\).

Chọn điểm \(I\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow I\left( {2;1;1} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}T = M{A^2} + M{B^2} + 3M{C^2}\\\,\,\,\,\, = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + 3{\overrightarrow {MC} ^2}\\\,\,\,\,\, = {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\\,\,\,\,\, = 5M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC} } \right) + I{A^2} + I{B^2} + I{C^2}\\\,\,\,\,\, = 5M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} + I{C^2}\end{array}\)

\({T_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }}\)

Suy ra, \(M\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\)

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với \(\left( P \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {3;3; - 2} \right)\)

\(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 + 3t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\)

\(M \in \Delta  \Rightarrow M\left( {2 + 3t;1 + 3t;1 - 2t} \right)\)

\(\begin{array}{l}M \in \left( P \right) \Leftrightarrow 3\left( {2 + 3t} \right) + 3\left( {1 + 3t} \right) - 2\left( {1 - 2t} \right) - 29 = 0\\ \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M\left( {5;4; - 1} \right)\end{array}\)