Một phần mềm mô phỏng vận động viên tập bắn bia mục tiêu có kích thước nhỏ \(\left( {42 \times 42cm} \right)\) bằng súng tiểu liên AK trong không gian \(Oxyz\). Cho biết vận động viên đó sử dụng thước ngắm 3 và đứng cách xa bia mục tiêu là \(100m\) , trục \(d\) của nòng súng và cọc đỡ bia \(d'\) lần lượt có phương trình

            \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2\\z = 4\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 1 + 3t'\end{array} \right.\). Để bắn trúng hồng tâm ( điểm 10 ) thì vận động viên phải ngắm bắn vào điểm \(N\left( {a;b;c} \right) \in d'\) và cách giao điểm của \(d\) và \(d'\) một khoảng \(6cm\). Khi \(c < 0\), tính giá trị biểu thức \(a - b + c\).

Gọi \(B = \Delta  \cap \left( P \right) \Rightarrow \)tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y + z - 6 = 0\\\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2;1;2} \right)\)

Vì \(d \subset \left( P \right)\) và \(d\) cắt \(\Delta  \Rightarrow B \in d \Rightarrow d\) đi qua \(A\left( {1;1;3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;0; - 1} \right)\) làm một VTCP.

Đường thẳng \[d\] có 1 VTCP \[\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;\, - 2;2} \right)\]

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có 1 VTPT \[\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 2} \right)\], gọi  \[\overrightarrow u \] là 1 VTCP của đường thẳng \[\Delta \]

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  \bot d\\\Delta //\left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  \bot \overrightarrow {{u_d}} \\\overrightarrow u  \bot \overrightarrow n \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow n } \right] = \left( {2;4;3} \right)\).

Suy ra PTTS của đường thẳng \[\Delta \] :\[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 + 4t\\z = 3 + 3t\end{array} \right.\]. Chọn \(t = 1 \Rightarrow \Delta \)đi qua điểm \(M\left( {5;5;6} \right)\)