Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2;2;1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {5;2; - 3} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\)là

a)   Thay tọa độ điểm \(M\) vào  phương trình đường thẳng \(d\) ta có: \(d:\frac{1}{1} = \frac{{ - 3}}{{ - 1}} = \frac{3}{2}\)( không thỏa mãn). Vậy  \(M \notin d\) nên a sai.

b)  Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với \(\left( P \right)\) nên \(\Delta \) có VTCP là \({\overrightarrow u _{_\Delta }} = {\overrightarrow n _{_P}} = \left( {1;2; - 2} \right)\)

\(\Delta \) đi qua \(M\)  nên phương trình tham số của \(\Delta \) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 3 + 2t\\z = 4 - 2t\end{array} \right.\) suy ra  b) sai

c)   Đường thẳng \(d\) có VTCP  \({\overrightarrow u _{_d}} = \left( {1; - 1;2} \right)\), \(\left( P \right)\) có VTPT là \({\overrightarrow n _{_P}} = \left( {1;2; - 2} \right)\)

\( \Rightarrow {\overrightarrow u _{_d}}.{\overrightarrow n _{_P}} = 1 - 2 - 4 =  - 5 \ne 0\) nên d cắt  \(\left( P \right)\) suy ra  c) sai

d) 

Gọi \(d'\) là hình chiếu của \(d\) lên \(\left( P \right)\);

· Tọa độ \(A = d \cap \left( P \right)\) thỏa \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2z + 2 = 0\\\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2} = \frac{{x + 2y - 2z + 2}}{{1 - 2 - 4}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;0;1} \right)\).

· Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa \(d\) và  vuông góc với \(\left( P \right)\)

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1; - 1;2} \right).\)

Mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_p}}  = (1;2; - 2)\).

 Suy ra \(\left( Q \right)\) có VTPT là  \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = ( - 2;4;3)\).

·  Khi đó do \(d' = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\) nên \(\)\(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = (14;1;8)\) là vectơ chỉ phương của \((d')\).

· Đường thẳng \(d'\) đi qua \(A\left( {0;0;1} \right)\) và có VTCP là \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left( {14;1;8} \right)\) có phương trình chính tắc  là  \[d':\frac{x}{{14}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{8}.\]

a)Sai

Các hệ số \(a = 2;b = 2;c = 2;d = 0\) nên mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;2;2} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 3 \).

b) Sai

\(IA = \sqrt {{{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt 3  = R\) nên điểm \(A\) nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\).

c) Đúng

\(OI = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 3  = R\) nên điểm \(O\) nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\).

d) Đúng

Theo kết quả câu (b) và (c), điểm O và \(A\) cùng thuộc \(\left( S \right)\).

Tam giác \(OAB\) đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R' = \frac{{OA}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\).

\(d\left( {I;\left( {OAB} \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {{\left( {R'} \right)}^2}}  = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\).

Mặt phẳng \(\left( {OAB} \right)\) đi qua O  nên có phương trình dạng : \(ax + by + cz = 0{\rm{ }}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0} \right){\rm{ }}\left( * \right)\)

Do \(\left( {OAB} \right)\) đi qua A, suy ra: \(4a + 4b = 0 \Leftrightarrow b =  - a\).

Lúc đó: \({\rm{d}}\left( {I;\left( {OAB} \right)} \right) = \frac{{\left| {2\left( {a + b + c} \right)} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| {2c} \right|}}{{\sqrt {2{a^2} + {c^2}} }} \Leftrightarrow \frac{{\left| {2c} \right|}}{{\sqrt {2{a^2} + {c^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\)