Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \(A\left( {0;\, - 3;\,2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x - y + 3z + 5 = 0\).

Khẳng định nào sau là đúng hay sai?

a) Đúng.

Gọi \(\left( Q \right)\)là mặt phẳng cần tìm.

Theo bài \(\left( Q \right)//\left( P \right) \Rightarrow \left( Q \right):\,2x - y + 3z + m = 0\,\,\left( {m \ne 5} \right)\)

Mà \(\left( Q \right)\) qua \(A \Leftrightarrow 2.0 - \left( { - 3} \right) + 3.2 + m = 0 \Leftrightarrow m =  - 9\,\left( {{\rm{tm}}} \right)\).

Vậy mp\(\left( Q \right):2x - y + 3z - 9 = 0\).

b) Sai.

\(\left( P \right):\,2x - y + 3z + 5 = 0\) có Vtpt  \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {2;\, - 1;\,3} \right)\).

\(\left( R \right):\,x + 2y - 2z - 5 = 0\)có Vtpt  \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;\,2;\, - 2} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  =  - 6 \ne 0\)\( \Rightarrow \)\(\left( P \right)\) không vuông góc với \(\left( R \right)\).

c) Đúng.

Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x - y + 3z + 5 = 0\):

\(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 3 + 3.2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \sqrt {14} \).

d) Sai.

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\), có vtcp là \(\overrightarrow u \left( {2; - 1;3} \right)\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y =  - 3 - t}\\{z = 2 + 3t}\end{array}} \right.\,\,\,\,(t \in \mathbb{R})\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\)\( \Rightarrow \)\(\left\{ H \right\} = \Delta  \cap \left( P \right)\) có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{y =  - 3 - t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{z = 2 + 3t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{2x - y + 3z + 5 = 0}\end{array}} \right.\, \Rightarrow 4t + 3 + t + 3\left( {2 + 3t} \right) + 5 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\)