(2,5 điểm) Cho đường tròn \(\left( O \right),\) từ điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) này ta kẻ hai tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) với \(B,\,\,C \in \left( O \right),\) cho biết \(\widehat {BAC} = 60^\circ .\)
a) Chứng minh tam giác \(ABC\) đều. Tính số đo góc \(\widehat {BOC}\) và số đo cung lớn \(BC\) của đường tròn \(\left( O \right).\)
b) Đoạn thẳng \(AO\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(M\,;\) tia \(CO\) cắt \(\left( O \right)\) ở \(E\,\,\left( {E \ne C} \right).\) Chứng minh rằng \(BE\,{\rm{//}}\,AO\) và \(AE\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(BM.\)
(2,5 điểm) Cho đường tròn \(\left( O \right),\) từ điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) này ta kẻ hai tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) với \(B,\,\,C \in \left( O \right),\) cho biết \(\widehat {BAC} = 60^\circ .\)
a) Chứng minh tam giác \(ABC\) đều. Tính số đo góc \(\widehat {BOC}\) và số đo cung lớn \(BC\) của đường tròn \(\left( O \right).\)
b) Đoạn thẳng \(AO\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(M\,;\) tia \(CO\) cắt \(\left( O \right)\) ở \(E\,\,\left( {E \ne C} \right).\) Chứng minh rằng \(BE\,{\rm{//}}\,AO\) và \(AE\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(BM.\)
Câu hỏi trong đề: Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 Lạng Sơn !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có \(AB = AC\) nên tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\)
Hơn nữa, ta có \(\widehat {BAC} = 60^\circ \) nên tam giác \(ABC\) là tam giác đều.
Vì \(AB,\,\,AC\) là các tiếp tuyến nên \(AB \bot OB\,;\,\,AC \bot OC.\)
Xét tứ giác \(ABOC\) có \[\widehat {BAC} + \widehat {ABO} + \widehat {ACO} + \widehat {BOC} = 360^\circ \].
Suy ra \[\widehat {BOC} = 360^\circ - \widehat {BAC} - \widehat {ABO} - \widehat {ACO} = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ .\]
Do đó (nhỏ) \[ = \widehat {BOC} = 120^\circ \] suy ra (lớn) \[ = 360^\circ - \] (nhỏ)\[ = 240^\circ .\]
Vậy tam giác \(ABC\) đều; \[\widehat {BOC} = 120^\circ \,;\] (lớn) \[ = 240^\circ .\]
b) Tam giác \(ABC\) cân, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì \(AO\) là phân giác \(\widehat {BAC}\)
nên \(AO\) là đường cao, tức là
Ta có \(OB = OC = OE = \frac{1}{2}CE,\) theo tính chất trung tuyến tam giác vuông thì tam giác \(BCE\) vuông tại \(B\) tức là
Từ (1) và (2) suy ra \(BE\,{\rm{//}}\,AO.\)
Dễ thấy \(\widehat {BOM} = 60^\circ \) và \(OB = OM\) nên \(\Delta OBM\) đều, suy ra
Hơn nữa, dễ thấy \(\widehat {BOE} = 180^\circ - \widehat {BOC} = 60^\circ \) và \(OB = OE\) nên \(\Delta OBE\) đều hay
Từ (3) và (4) suy ra \(MB = BE = EO = OM\) nên tứ giác \(MBEO\) là hình thoi, suy ra \(ME \bot OB.\)
Mặt khác, \(OB \bot AB\) nên \(ME\,{\rm{//}}\,AB.\) Kết hợp \(BE\,{\rm{//}}\,MA\) (vì \(BE\,{\rm{//}}\,AO\,).\)
Do đó \(ABEM\) là hình bình hành nên \(AE\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(BM.\)
Vậy \(BE\,{\rm{//}}\,AO\) và \(AE\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(BM.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Xét tam giác vuông \(ABC\), theo tỉ số lượng giác, ta có: \({\rm{cos}}\,B = \frac{{AB}}{{BC}}\).
Suy ra \(BC = \frac{{AB}}{{{\rm{cos}}\,B}} = \frac{{50}}{{{\rm{cos}}\,50^\circ }} \approx 77,8\,\,{\rm{(m}}).\)
Vậy \(BC \approx 77,8\,\,{\rm{m}}.\)
b) Bán kính ngoài của đĩa CD là: \(R = \frac{{120}}{2} = 60{\rm{\;(mm)}} = 6{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Bán kính lỗ tròn rỗng bên trong là \(r = \frac{{15}}{2} = 7,5{\rm{\;(mm)}} = 0,75{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Diện tích bề mặt đĩa (hình vành khăn) là:
\(S = \pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right) = 3,14 \cdot \left( {{6^2} - 0,{{75}^2}} \right) \approx 111,27{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)
Vậy diện tích bề mặt của đĩa CD khoảng \(111,27{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Từ phương trình thứ nhất, ta có \(y = 4x - 7\).
Thay \(y = 4x - 7\) vào phương trình thứ hai ta được: \(x + 3\left( {4x - 7} \right) = 5\).
Suy ra \(x + 12x - 21 = 5\) nên \(13x = 26\) hay \(x = 2\).
Thay \(x = 2\) vào \(y = 4x - 7\), ta được: \(y = 4.2 - 7 = 1\).
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {2\,;\,\,1} \right).\)
b) \(\left( { - x + 6} \right)\left( {2x - 4} \right) = 0\)
\( - x + 6 = 0\) hoặc \(2x - 4 = 0\)
\(x = 6\) hoặc \(x = 2\).
Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = 6;x = 2\)
c) \(4 - 7\left( {x - 3} \right) \le 2\left( {x - 1} \right)\)
\(4 - 7x + 21 \le 2x - 2\)
\( - 9x \le - 27\)
\(x \ge 3\)
Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \ge 3\).
Câu 3
A. \(37,7\,\,{{\rm{m}}^2}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập