Cho hình chóp \[S.ABC\]có đáy \[ABC\] là tam giác vuông tại\[A\], cạnh bên \[SA\] vuông góc với đáy. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Giả sử cái bục là hình chóp cụt \(ABCDEF.A'B'C'D'E'F'\) có \(BE = 2CD = 2\,m\), \(B'E' = 2C'D' = 1,2\,m\), \(OO' = 2\,m\).

Dựng \(B'G//OO'\), suy ra \(BG = \frac{{BE - B'E'}}{2} = \frac{{2 - 1,2}}{2} = 0,4\,m\).

Tam giác \(B'GB\) vuông tại \(G\) \( \Rightarrow BB' = \sqrt {B'{G^2} + B{G^2}}  = \sqrt {{2^2} + 0,{4^2}}  \approx 2,04\,m\).

Kẻ \(B'H\) là đường cao của mặt bên \(BB'C'C\), ta có: \(BH = \frac{{BC - B'C'}}{2} = \frac{{1 - 0,6}}{2} = 0,2\,m\)

\( \Rightarrow B'H = \sqrt {B{{B'}^2} - B{H^2}}  = \sqrt {2,{{04}^2} - 0,{2^2}}  \approx 2,03\,m\).

Diện tích mặt bên \(BB'C'C\)là \({S_1} = \frac{1}{2}(BC + B'C').B'H = \frac{1}{2}(1 + 0,6).2,03 \approx 1,62\,{m^2}\).

Diện tích mặt trên (đáy nhỏ) là \({S_2} = 0,{6^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4}.6 \approx 0,94{m^2}\).

Tổng diện tích cần sơn là \(S = 6{S_1} + {S_2} \approx 6.1,62 + 0,94 = 10,66\,{m^2}\).

 Gọi \[I\] là trung điểm \(AC\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {A{B^\prime }C} \right) \cap (ABC) = AC}\\{{\rm{ Trong }}(ABC),BI \bot AC}\\{{\rm{ Trong }}\left( {A{B^\prime }C} \right),{B^\prime }I \bot AC}\end{array} \Rightarrow \left( {\left( {A{B^\prime }C} \right),(ABC)} \right) = \left( {{B^\prime }I,BI} \right) = \widehat {{B^\prime }IB}} \right.\)

Ta có: \(BI = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2};B{B^\prime } = \sqrt {{{(a\sqrt 7 )}^2} - {a^2}}  = \sqrt 6 a\)

Xét \(\Delta {B^\prime }BI\) vuông tại \[B\]: $\tan \widehat{B^{\text{'}}IB}=\frac{B{B}^{\text{'}}}{BI}=\frac{\sqrt{6}a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{B^{\text{'}}IB}\approx 73,9^{°}$