Bạn An muốn làm các viên đá có dạng khối chóp cụt tứ giác đều có cạnh của đáy lớn bằng \(3\,cm\), cạnh của đáy nhỏ bằng \(1,5\,cm\)và cao \(3\,cm\) bằng cách dùng khay đá, mỗi khay sẽ tạo được \(6\) viên đá. Hỏi bạn An cần ít nhất bao nhiêu khay để chứa đồng thời \(2\) lít nước?

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot SA({\rm{ do }}SA \bot (ABCD))}\\{BC \bot AB}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot AH} \right.\),

mà \(SB \bot AH\) nên \(AH \bot (SBC)\) hay \(d(A,(SBC)) = AH\).

Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) nên

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{AB \cdot SA}}{{\sqrt {A{B^2} + S{A^2}} }} = \frac{{a \cdot a\sqrt 3 }}{{\sqrt {{a^2} + 3{a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}{\rm{. }}\)

Vậy \(d(A,(SBC)) = AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\) thì \(AO \bot BD\), ta lại có \(SA \bot BD\) nên \(BD \bot (SAC)\). (*)

Kẻ đường cao \(AE\) của \(\Delta SAO\) thì \(AE \bot BD(\)do \((*))\).

Vậy \(AE \bot (SBD)\) hay \(d(A,(SBD)) = AE\).

Ta có: \(AC = a\sqrt 2 \) (đường chéo hình vuông), suy ra \(OA = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Tam giác \(SAO\) vuông tại \(A\) có: \(AE = \frac{{SA \cdot AO}}{{\sqrt {S{A^2} + A{O^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3  \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {3{a^2} + \frac{{2{a^2}}}{4}} }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Vậy \(d(A,(SBD)) = AE = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Ta chứng minh được \(AK \bot (SCD)\). Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SC \bot AH}\\{SC \bot AK}\end{array} \Rightarrow SC \bot (AHK)} \right.\).

Gọi \(F = SC \cap (AHK)\) thì \(SC \bot AF\).

Khi đó: \(d(C,(AHK)) = CF\).

Ta có: \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = \sqrt {3{a^2} + 2{a^2}}  = a\sqrt 5 \).

Tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AF\) nên:

\(CF.CS = A{C^2} \Rightarrow CF = \frac{{A{C^2}}}{{CS}} = \frac{{2{a^2}}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}.\)

Vậy \({\rm{d }}(C,(AHK)) = CF = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)