Xét khối tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AB\), \(CD\) thỏa mãn \(A{B^2} + C{D^2} = 18\) và các cạnh còn lại đều bằng \(5\). Biết thể tích khối tứ diện \(ABCD\) đạt giá trị lớn nhất có dạnh \({V_{\max }} = \frac{{x\sqrt y }}{4}\) ; \(x,{\rm{ }}y \in {\mathbb{N}^*}\); \(\left( {x;y} \right) = 1\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Đặt \(AB = a\).

Gọi \(M\) là trung điểm \(CD\)\( \Rightarrow CD \bot AM\),\(CD \bot BM\)\( \Rightarrow CD \bot \left( {ABM} \right)\).

Khi đó \({V_{ABCD}} = {V_{ABMC}} + {V_{ABMD}}\)\( = \frac{1}{3}{S_{ABM}}.CM + \frac{1}{3}{S_{ABM}}.DM\)\( = \frac{1}{3}{S_{ABM}}.CD\).

Do \(AM\)là trung tuyến của tam giác \(ACD\) nên:

\(A{M^2} = \frac{{2\left( {A{C^2} + A{D^2}} \right) - C{D^2}}}{4}\)\( = \frac{{2\left( {{5^2} + {5^2}} \right) - \left( {18 - {a^2}} \right)}}{4}\)\( = \frac{{82 + {a^2}}}{4}\).

Tam giác \(ABM\) cân tại \(M\)( vì \(AM = BM\)) nên:

\({S_{ABM}} = \frac{1}{2}.AB.\sqrt {A{M^2} - {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} \)\( = \frac{1}{2}.a.\sqrt {\frac{{82}}{4}} \)\( = \frac{{a\sqrt {82} }}{4}\).

\({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {82} }}{4}.\sqrt {18 - {a^2}} \)\( = \frac{{\sqrt {82} }}{{12}}.\sqrt {{a^2}\left( {18 - {a^2}} \right)} \)\( \le \frac{{\sqrt {82} }}{{12}}.\frac{{{a^2} + 18 - {a^2}}}{2}\)\( = \frac{{3\sqrt {82} }}{4}\)\( \Rightarrow x = 3,{\rm{ }}y = 82\).