Xét khối tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AB\), \(CD\) thỏa mãn \(A{B^2} + C{D^2} = 18\) và các cạnh còn lại đều bằng \(5\). Biết thể tích khối tứ diện \(ABCD\) đạt giá trị lớn nhất có dạnh \({V_{\max }} = \frac{{x\sqrt y }}{4}\) ; \(x,{\rm{ }}y \in {\mathbb{N}^*}\); \(\left( {x;y} \right) = 1\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Xét khối tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AB\), \(CD\) thỏa mãn \(A{B^2} + C{D^2} = 18\) và các cạnh còn lại đều bằng \(5\). Biết thể tích khối tứ diện \(ABCD\) đạt giá trị lớn nhất có dạnh \({V_{\max }} = \frac{{x\sqrt y }}{4}\) ; \(x,{\rm{ }}y \in {\mathbb{N}^*}\); \(\left( {x;y} \right) = 1\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) \(x + {y^2} - xy > 4550\).
b) \(xy + 2x + y > 2550\).
c) \({x^2} - xy + {y^2} < 5240\).
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Khoảng cách trong không gian (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
|
a) Đúng |
b) Sai |
c) Sai |
d) Sai |
Đặt \(AB = a\).
Gọi \(M\) là trung điểm \(CD\)\( \Rightarrow CD \bot AM\),\(CD \bot BM\)\( \Rightarrow CD \bot \left( {ABM} \right)\).
Khi đó \({V_{ABCD}} = {V_{ABMC}} + {V_{ABMD}}\)\( = \frac{1}{3}{S_{ABM}}.CM + \frac{1}{3}{S_{ABM}}.DM\)\( = \frac{1}{3}{S_{ABM}}.CD\).
Do \(AM\)là trung tuyến của tam giác \(ACD\) nên:
\(A{M^2} = \frac{{2\left( {A{C^2} + A{D^2}} \right) - C{D^2}}}{4}\)\( = \frac{{2\left( {{5^2} + {5^2}} \right) - \left( {18 - {a^2}} \right)}}{4}\)\( = \frac{{82 + {a^2}}}{4}\).
Tam giác \(ABM\) cân tại \(M\)( vì \(AM = BM\)) nên:
\({S_{ABM}} = \frac{1}{2}.AB.\sqrt {A{M^2} - {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} \)\( = \frac{1}{2}.a.\sqrt {\frac{{82}}{4}} \)\( = \frac{{a\sqrt {82} }}{4}\).
\({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {82} }}{4}.\sqrt {18 - {a^2}} \)\( = \frac{{\sqrt {82} }}{{12}}.\sqrt {{a^2}\left( {18 - {a^2}} \right)} \)\( \le \frac{{\sqrt {82} }}{{12}}.\frac{{{a^2} + 18 - {a^2}}}{2}\)\( = \frac{{3\sqrt {82} }}{4}\)\( \Rightarrow x = 3,{\rm{ }}y = 82\).
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\). Ta có \(AO \bot BD\) và \[AO \bot AA'\].
Suy ra \(AO\) là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \[AA'\] và \(BD\).
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BD\) là \[AO = \frac{{AC}}{2} = 2.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 .\]
Lời giải
Đáp án:
Ta thấy ba chân của giá đỡ cùng với đoạn thẳng nối chân các giá đỡ (trên mặt đất) tạo thành một hình chóp tam giác đều. Chiều cao của giá đỡ chính là khoảng cách từ đỉnh của giá đến mặt đất.
Giả sử hình chóp tam giác đều là \(S.ABC\). Ta có \(SA = SB = SC = 129\,\,({\rm{cm}})\), \(AB = AC = BC = 110\,\,({\rm{cm}})\).
Có \(AM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = 55\sqrt 3 \,\,({\rm{cm}})\), \(AO = \frac{2}{3}AM = \frac{{110\sqrt 3 }}{3}\,\,({\rm{cm}})\).
\(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {{{129}^2} - {{\left( {\frac{{110\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} \approx 112\,\,({\rm{cm}})\).
Vậy chiều cao của giá đỡ xấp xỉ 112 (cm)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
a) \(BC \bot (SAB)\)
b) \(d(H,(SBC)) = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
c) Gọi \(K\) là trung điểm \(CD\) khi đó: \(CD \bot (SHK)\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
![Cho hình lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông cân tại \(B\), \(AB = a\). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid28-1771854375.png)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
![Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông tâm \(O\) cạnh là \[a\], \(SA\) vuông góc với đáy (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid27-1771854315.png)
A. \(SO\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập