Cho tứ diện $S.ABC$ trong đó $SA,SB,SC$ vuông góc với nhau từng đôi một và $SA = 3a,SB = a,SC = 2a$. Tính khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $BC$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Khoảng cách trong không gian (có lời giải) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho tứ diện $S.ABC$ trong đó $SA,SB,SC$ vuông góc với nhau từng đôi một và (ảnh 1)$

Kẻ $AH \bot BC$ tại $H \Rightarrow d(A,BC) = AH$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot SA}\\{BC \bot AH}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAH) \Rightarrow BC \bot SH} \right.$

Ta có: $SH = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{S{C^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}}} }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{{(2a)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}a$

Ta có: $AH = \sqrt {S{A^2} + S{H^2}} = \sqrt {{{(3a)}^2} + {{\left( {\frac{{2\sqrt 5 }}{5}a} \right)}^2}} = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}a$

Vậy $d(A,BC) = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}a$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một giá đỡ ba chân như hình vẽ đang được mở sao cho ba gốc chân cách đều nhau một khoảng cách bằng \[90cm\]. Chiều cao của giá đỡ, biết các chân của giá đỡ dài \[110cm\] bằng

A. \[110\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

B. \[90\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

C. $45\sqrt 3 \left( {{\rm{\;cm}}} \right)$.

D. \[96,95\left( {{\rm{cm}}} \right)\]

Lời giải

Một giá đỡ ba chân như hình vẽ đang được mở sao cho ba gốc chân cách đều nhau một khoảng (ảnh 2)

Giả sử 3 chân của giá đỡ là \[B,C,D\].

Giá đỡ ba chân như hình vẽ đang được mở sao cho ba gốc chân cách đều nhau một khoảng cách bằng $90{\rm{\;cm}}$ nên hình chiếu của đỉnh là tâm của đáy mà đáy là tam giác đều do đó tâm là trọng tâm.

Vì đáy là tam giác đều cạnh $90{\rm{\;cm}}$ nên chiều cao của đáy bằng $BM = 90.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 45\sqrt 3 \left( {{\rm{\;cm}}} \right)$

Khoảng cách từ gốc chân đến tâm của đáy là $OB = \frac{2}{3} \cdot 45\sqrt 3 = 30\sqrt 3 \left( {{\rm{cm}}} \right)$

Chiều cao giá đỡ là \[OA = \sqrt {{{110}^2} - {{\left( {30\sqrt 3 } \right)}^2}} = 10\sqrt {94} \left( {cm} \right) \approx 96,95\left( {{\rm{cm}}} \right)\]

Câu 2

Một cái hộp hình lập phương, bên trong nó đựng một mô hình đồ chơi có dạng hình chóp tứ giác đều mà đỉnh của hình chóp đó trùng với tâm của một mặt chiếc hộp, giả sử hình vuông đáy của hình chóp trùng với một mặt của chiếc hộp (mặt này cùng với mặt chứa đỉnh hình chóp là hai mặt đối nhau). Biết cạnh của chiếc hộp bằng $30\;cm$, hãy tính thể tích phần không gian bên trong chiếc hộp không bị chiếm bởi mô hình đồ chơi dạng hình chóp (mô hình đồ chơi được làm bởi chất liệu nhựa đặc bên trong).

Lời giải

Thể tích cái hộp (khối lập phương) là: ${V_1} = {30^3} = 27000\left( {\;c{m^3}} \right)$.

Xét đồ chơi có dạng hình chóp tứ giác đều, chiều cao của hình chóp bằng với một cạnh của hình lập phương, hay $h = 30\;cm$, đáy của hình chóp có diện tích $S = {30^2} = 900\;c{m^2}$.

Thể tích khối đồ chơi (khối chóp tứ giác đều) là:

${V_2} = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3} \cdot 900 \cdot 30 = 9000\left( {\;c{m^3}} \right){\rm{. }}$

Thể tích phần không gian bên trong chiếc hộp không bị chiếm bởi mô hình đồ chơi dạng hình chóp: $V = {V_1} - {V_2} = 27000 - 9000 = 18000\left( {\;c{m^3}} \right)$.

Câu 3