Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho các đường thẳng \({d_1}:x + 2y + 3 = 0\), \({d_2}:3x - y + 5 = 0\) và điểm \(P( - 2;1)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(P\) và cắt \({d_1},{d_2}\) lần lượt tại \(A,B\) sao cho \(P\) là trung điểm của \(AB\).

a) Tìm toạ độ các điểm \(A,B\).

b) Tính khoảng cách từ \(M(3; - 2)\) đến đường thẳng \(\Delta \).

Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường chéo. Vì \(I\) thuộc \(\Delta \) nên giả sử \(I(3t;t)\).

Khi đó \(\overrightarrow {IA}  = ( - 3t;2 - t),\overrightarrow {IB}  = (4 - 3t;3 - t)\).

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thoi nên \(\overrightarrow {IA}  \cdot \overrightarrow {IB}  = 0 \Leftrightarrow ( - 3t)(4 - 3t) + (2 - t)(3 - t) = 0 \Leftrightarrow 10{t^2} - 17t + 6 = 0\)

Suy ra \(t = \frac{1}{2}\) hoặc \(t = \frac{6}{5}\).

Với \(t = \frac{1}{2}\)ta có: \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow C(3; - 1),D( - 1; - 2)\)

Với \(t = \frac{6}{5}\)ta có: \(I\left( {\frac{{18}}{5};\frac{6}{5}} \right) \Rightarrow C\left( {\frac{{36}}{5};\frac{2}{5}} \right),D\left( {\frac{{16}}{5}; - \frac{3}{5}} \right)\)

a) Vì \({d_1}\) song song với \(d\) nên phương trình của \({d_1}\) có dạng: \(4x - y + c = 0(c \ne 11)\).

Vì \(M\) thuộc \({d_1}\) nên \(4.( - 2) - 1 + c = 0 \Leftrightarrow c = 9\).

Vậy phương trình đường thẳng \({d_1}\) là: \(4x - y + 9 = 0\).

b) Vì \({d_2}\) vuông góc với \(d\) nên phương trình của \({d_2}\) có dạng: \(x + 4y + m = 0\).

Vì \({d_2}\) cách đều hai điểm \(P,Q\) nên

\(d\left( {P,{d_2}} \right) = d\left( {Q,{d_2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{| - 3 + 4 \cdot 3 + m|}}{{\sqrt {{1^2} + {4^2}} }} = \frac{{|5 + 4 \cdot ( - 1) + m|}}{{\sqrt {{1^2} + {4^2}} }} \Leftrightarrow |m + 9| = |m + 1|.\)

Suy ra \(m =  - 5\). Vậy phương trình đường thẳng \({d_2}\) là: \(x + 4y - 5 = 0\).