Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho các đường thẳng \({d_1}:x + 2y + 3 = 0\), \({d_2}:3x - y + 5 = 0\) và điểm \(P( - 2;1)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(P\) và cắt \({d_1},{d_2}\) lần lượt tại \(A,B\) sao cho \(P\) là trung điểm của \(AB\).

a) Tìm toạ độ các điểm \(A,B\).

b) Tính khoảng cách từ \(M(3; - 2)\) đến đường thẳng \(\Delta \).

Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường chéo. Vì \(I\) thuộc \(\Delta \) nên giả sử \(I(3t;t)\).

Khi đó \(\overrightarrow {IA}  = ( - 3t;2 - t),\overrightarrow {IB}  = (4 - 3t;3 - t)\).

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thoi nên \(\overrightarrow {IA}  \cdot \overrightarrow {IB}  = 0 \Leftrightarrow ( - 3t)(4 - 3t) + (2 - t)(3 - t) = 0 \Leftrightarrow 10{t^2} - 17t + 6 = 0\)

Suy ra \(t = \frac{1}{2}\) hoặc \(t = \frac{6}{5}\).

Với \(t = \frac{1}{2}\)ta có: \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow C(3; - 1),D( - 1; - 2)\)

Với \(t = \frac{6}{5}\)ta có: \(I\left( {\frac{{18}}{5};\frac{6}{5}} \right) \Rightarrow C\left( {\frac{{36}}{5};\frac{2}{5}} \right),D\left( {\frac{{16}}{5}; - \frac{3}{5}} \right)\)

Gọi \(\Delta \)là đường thẳng đi qua \(A\) và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_\Delta } = (a;b)\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\). Ta có: 

$(\Delta ,d)={45}^{°}\iff \left|\cos \left({\overrightarrow{n}}_{\Delta },{\overrightarrow{n}}_d\right)\right|=\cos {45}^{°}\iff \frac{\left|{\overrightarrow{n}}_{\Delta },{\overrightarrow{n}}_d\right|}{\left|{\overrightarrow{n}}_{\Delta }\right|\cdot \left|{\overrightarrow{n}}_d\right|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Nếu \(b = 0\)thì \(a = 0\)(loại).

Nếu \(b \ne 0\)thì chia cả hai vế phương trình trên cho \({b^2}\)ta có: \(3{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} + 8 \cdot \frac{a}{b} - 3 = 0\)

Giải phương trình ta được \(\frac{a}{b} = \frac{1}{3}\)hoặc \(\frac{a}{b} =  - 3\). Với \(\frac{a}{b} = \frac{1}{3},\)ta chọn \(a = 1,b = 3\). Suy ra phương trình đường thẳng \(d\)là: \(1(x - 2) + 3(y - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 11 = 0\)

Với \(\frac{a}{b} =  - 3\) ta chọn \(a =  - 3,b = 1\). Suy ra phương trình đường thẳng \(d\)là: \( - 3(x - 2) + 1(y - 3) = 0 \Leftrightarrow  - 3x + y + 3 = 0.\)